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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 36

Uma urna contém inicialmente uma bola vermelha e uma bola azul. Em cada rodada, uma bola é sorteada e então substituída por outra de mesma cor. Suponha que X represente o número da seleção da primeira bola azul. Por exemplo, se a primeira bola selecionada é vermelha e a segunda é azul, então X é igual a 2.

(a) Determine P X > i ,   i ≥ 1 .

(b) Mostre que, com probabilidade 1, uma bola azul acabará sendo escolhida (isto é, mostre que P X < ∞ = 1 ) .

(C) Determine E X .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para X = 1 , significa tirar uma bola azul no primeiro sorteio. A probabilidade de tirar uma bola azul no primeiro sorteio é de ½. Logo:

P X > i = 1 - P X = 1 - P ( X < i )

P X > i = 1 - 1 2 - 0 = 1 2

Para X = 2 , significa que o primeiro sorteio é vermelho e o segundo é azul. Então a probabilidade de tirar uma bola azul se torna 1 3 . Então:

P X = 2 = 1 2 × 1 3 = 1 6

P X > 2 = 1 - P X = 2 - P ( X < 2 )

P X > 2 = 1 - 1 6 - P ( X = 1 )

P X > 2 = 1 - 1 6 - 1 2 = 1 3

Para X = 3 , é o caso em que a primeira bola azul retirada é escolhida na terceira rodada. Isso significa que os dois primeiros sorteios são vermelhos e o terceiro sorteio é a bola azul. Que ocorre com a probabilidade de 1 4 .

P X = 3 = 1 2 × 2 3 × 1 4 = 1 12

P X > 3 = 1 - P X = 3 - P ( X < 3 )

P X > 3 = 1 - 1 12 - 1 2 - 1 6 = 1 4

Logo,

Para X > i ,

P X > i = 1 2 2 3 3 4 4 5 … i - 1 i i i + 1 = 1 i + 1

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b). Do resultado que tivemos no Passo 1, vamos tomar o limite como i → ∞ :

P X > ∞ = lim i → ∞ ⁡ 1 i + 1 = 0

Das propriedades da teoria da probabilidade,

P X > ∞ = 1 - P X < ∞ = 1

Passo 3

Ok, agora vamos para a letra (c). O valor esperado da variável aleatória X pode ser definido como:

E X = ∑ i = 1 ∞ i P ( X = i )

Vamos encontrar P ( X = i ) . Para X=i, isso significa que os primeiros i-1 sorteios foram todos vermelhos e o i t h sorteio é azul. Por isso

P X = i = 1 i ( i + 1 )

Substituindo:

E X = ∑ i = 1 ∞ i 1 i ( i + 1 ) = ∑ i = 1 ∞ 1 ( i + 1 )

Como a nossa série diverge, podemos dizer que:

E X = ∞

Resposta

a )   P X > i = 1 i + 1

b )   P X > ∞ = 1

c )   E X = ∞

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