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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 24

As variáveis aleatórias X e Y têm função densidade conjunta

f x , y = 12 x y ( 1 - x )       0 < x < 1 ,   0 < y < 1

e

f x , y = 0         c a s o   c o n t r á r i o

(a) X   e   Y são independentes?

(b) Determine E(X)

(c) Determine E(Y)

(d) Determine Var(X)

(c) Determine Var(Y)

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).

Para descobrirmos se X   e   Y são independentes, temos que verificar se:

f x , y = f x f ( y )

Vamos começar calculando f ( x ) :

f x = ∫ 0 1 12 x y ( 1 - x ) d y

f x = 6 x y 2 - x y ² 0 1 = 6 x ( 1 - x )

Agora vamos calcular f y :

f y = ∫ 0 1 12 x y ( 1 - x ) d x

f y = 12 y x 2 2 - x 3 3 0 1 = 2 y

Verificando:

f x f y = 6 x ( 1 - x ) 2 y = 12 x y ( 1 - x )

Logo, como podemos ver,

f x , y = f x f ( y )

Então são independentes.

Passo 2

Beleza, agora vamos para a letra (b). Vamos calcular E ( X ) :

E X = ∫ 0 1 x f x d x

No Passo 1 já calculamos o valor de f ( x ) :

f x = 6 x ( 1 - x )

E X = ∫ 0 1 x 6 x ( 1 - x ) d x = 6 ∫ 0 1 x 2 - x ³ d x

Vamos integrar e calcular os limites de integração:

E X = 6 x 3 3 - x 4 4 0 1 = 6 1 3 - 1 4 = 1 2

Passo 3

Beleza, agora vamos para a letra (c). Vamos calcular E ( Y ) :

E Y = ∫ 0 1 y f y d y

No Passo 1 já calculamos o valor de f ( y ) :

f y = 2 y

E Y = ∫ 0 1 y 2 y d y = 2 ∫ 0 1 y ² d y

Vamos integrar e calcular os limites de integração:

E Y = 2 y 3 3 0 1 = 2 3

Passo 4

Beleza, agora vamos para a letra (d). Vamos calcular V a r ( X ) . Para isso, vamos usar a fórmula:

V a r X = E X 2 - ( E X ) ²

Como nós já calculamos E ( X ) no Passo 2, vamos calcular E ( X 2 ) :

E X = 1 2

f x = 6 x ( 1 - x )

E X 2 = ∫ 0 1 x ² f x d x = ∫ 0 1 x ² 6 x ( 1 - x ) d x

E X 2 = 6 ∫ 0 1 x 3 - x 4 d x

Vamos integrar e calcular os limites de integração:

E X 2 = 6 x 4 4 - x 5 5 0 1 = 3 10

Jogando na fórmula inicial:

V a r X = E X 2 - ( E X ) ²

V a r X = 3 10 - 1 2 2 = 1 20

Passo 5

Beleza, agora vamos para a letra (e). Vamos calcular V a r ( Y ) . Para isso, vamos usar a fórmula:

V a r Y = E Y 2 - ( E Y ) ²

Como nós já calculamos E ( Y ) no Passo 3, vamos calcular E ( Y 2 ) :

E Y = 2 3

f y = 2 y

E Y 2 = ∫ 0 1 y ² f y d y = ∫ 0 1 y ² 2 y d y

E Y 2 = 2 ∫ 0 1 y ³ d y

Vamos integrar e calcular os limites de integração:

E Y 2 = y 4 2 0 1 = 1 2

Jogando na fórmula inicial:

V a r Y = E Y 2 - ( E Y ) ²

V a r Y = 1 2 - 2 3 2 = 1 18

Resposta

a )   S ã o   i n d e p e n d e n t e s

b )   E X = 1 2

c ) E Y = 2 3

d ) V a r X = 1 20

e ) V a r Y = 1 18

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