A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, é normalmente distribuída, com uma média de 7000 horas e desvio-padrão de 600 horas.

  1. Qual é a probabilidade do laser falhar antes de 5000 horas?
  2. Qual é o tempo de vida em horas que 95% dos lasers excedem?
  3. Se três lasers forem usados em um produto e se eles falharem independentemente, qual será a probabilidade de todos os três estarem ainda operando depois de 7000 horas?

Passo 1

Seja X a variável aleatória normal com a média de 7000 e desvio padrão 600.

Em seguida, introduzimos a variável aleatória Z da seguinte forma:

Z = X - 7000 600

Seja Z a variável aleatória normal padrão com a função de distribuição cumulativa Φ dada nas tabelas dos apêndices do livro.

Passo 2

Na letra a:

Usando a tabela III:

P ( X < 5000 ) = P ( Z < - 3.33 ) = Φ ( - 3.33 ) = 4.34 × 1 0 - 4

Passo 3

Na letra b:

Vamos escrever a equação:

0.95 = P ( X > x ) = P ( Z > x - 7000 600 ) = 1 - Φ ( x - 7000 600 )

Simplificando:

Φ ( x - 7000 600 ) = 0.05

Vamos concluir a partir da tabela III que:

x - 7000 600 =   - 1.645

Agora vamos resolver essa equação para obter x :

x = 6013

Passo 4

Na letra c:

A probabilidade de que 3 lasers estão operando após 7000 horas (assumindo independência) é facilmente calculada:

P ( X > 7000 ) 3 = P ( X > E ( X ) ) 3 = ( 1 2 ) 3 = 0.125

Resposta

  1. 4.34 × 1 0 - 4
  2. 6013
  3. 0.125
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