Diagrama de Nyquist

O exercício pede para plotarmos o diagrama de Nyquist de usando o MATLAB. Para isto, devemos primeiro entrar com no MATLAB usando a função . Em seguida, usaremos a função para plotar o diagrama de Nyquist de .

O primeiro passo para resolver o exercício é entrar com no MATLAB. Para isto, usaremos a função , que cria funções de transferência e tem a seguinte sintaxe:

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

Em um novo script, vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .

A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo, já digitamos o comando para criar , que será armazenado na variável .

Se quiser conferir se você entrou certinho, rode o programa que você tem até agora e peça para o MATLAB imprimir no Command Window. Se estiver tudo certo, você terá:

Tendo entrado com no MATLAB, podemos plotar seu diagrama de Nyquist, usando a função , que tem como sintaxe:

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando do MATLAB (representada por acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para .

Adicione em seu código o comando:

Ao executar o programa, você terá o diagrama de Nyquist pedido pelo enunciado.

O exercício pede para vermos se um sistema é estável ou não usando o critério de Nyquist. Para isto, usaremos a função do MATLAB para plotar o diagrama de Nyquist de e determinaremos a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist no gráfico gerado pelo MATLAB.

O primeiro passo para resolver o exercício é entrar com no MATLAB. Para isto, usaremos a função , que cria funções de transferência e tem a seguinte sintaxe:

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

Em um novo script, vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .

A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo, já incluimos o comando para criar , que será armazenado na variável .

Se quiser conferir se você entrou certinho, rode o programa que você tem até agora e peça para o MATLAB imprimir no Command Window. Se estiver tudo certo, você terá:

Tendo entrado com no MATLAB, podemos plotar o diagrama de Nyquist, usando a função , que tem como sintaxe:

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando do MATLAB (representada por acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para .

Adicione em seu código o comando:

Execute o programa e você terá o diagrama de Nyquist de :

Com o diagrama de Nyquist em mãos, podemos avaliar a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist, que é dado pela equação:

Onde:

• é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
• é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de ;
• é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.

Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, deve ser igual a .

O é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, . Neste exercício, o denominador de é , que tem como raiz . Logo, o único polo de é e ele é negativo. Portanto, não tem polos positivos e .

é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo anterior:

Tem uma cruzinha vermelha na extremidade esquerda do gráfico, reparou? Essa cruzinha marca o ponto de coordenadadas . Como a cruzinha está fora do diagrama de Nyquist (que é o círculo azul com flechinhas), o diagrama não dá volta alguma em torno de , logo,

Tendo e , calculamos . Temos que . Como , o sistema é estável.

O exercício pede para vermos se um sistema é estável ou não usando o critério de Nyquist. Para isto, usaremos a função do MATLAB para plotar o diagrama de Nyquist de e determinaremos a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist no gráfico gerado pelo MATLAB.

Antes de usar , vamos entrar com no MATLAB usando a função . Lembra dela? Ela tem como entrada dois vetores com os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência. Repare que o denominador de está fatorizado. Logo, para podermos pegar os coeficientes dele, precisamos expandi-lo (isto é, multiplicar os termos) para gerarmos o polinômio. Por isso, antes de usarmos , faremos uma manipulação algébrica com o denominador de .

Para obter o polinômio do denominador de , vamos multipicar seus termos usando o MATLAB. Em um novo script, digite as linhas de código:

Na primeira linha, criamos uma variável simbólica .

Na segunda linha, entramos com o denominador de , armazenando-o na variável .

Na terceira linha, usamos o comando do MATLAB em . Este comando multiplicará os termos de e gerará o polinômio que precisamos, armazenando-o em .

Rodando o programa, temos:

Agora que temos o polinômio do denominador de , podemos criar os vetores que servirão de entrada para . Lembrando que que tem como sintaxe:

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

Em um novo script ou no script onde você obteve , vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .

A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo, já incluimos o comando para criar , que será armazenado na variável .

É bom dar uma conferida em antes de continuar. Para isto, rode o programa que você tem até agora e imprima no Command Window:

Aparentemente, está tudo certinho. Podemos continuar :)

Tendo entrado com no MATLAB, podemos plotar o diagrama de Nyquist, usando a função , que tem como sintaxe:

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando do MATLAB (representada por acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para .

Adicione em seu código o comando:

Execute o programa e você terá o diagrama de Nyquist de :

Com o diagrama de Nyquist em mãos, podemos avaliar a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist, que é dado pela equação:

Onde:

• é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
• é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de ;
• é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.

Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, deve ser igual a .

O é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, . Para isto, é mais fácil a gente pegar o dado diretamente no enunciado, onde os termos do denominador não foram multiplicados:

Neste exercício, o denominador de é , que tem como raizes e . Logo, não tem polos positivos e .

é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo anterior:

Tem uma cruzinha vermelha na extremidade esquerda do gráfico, reparou? Essa cruzinha marca o ponto de coordenadadas . Como a cruzinha está fora do diagrama de Nyquist (que é a curva azul com flechinhas), o diagrama não dá volta alguma em torno de , logo,

Tendo e , calculamos . Temos que . Como , o sistema é estável.

O exercício pede para vermos se um sistema é estável ou não usando o critério de Nyquist. Para isto, usaremos a função do MATLAB para plotar o diagrama de Nyquist de e determinaremos a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist no gráfico gerado pelo MATLAB.

Antes de usar , vamos entrar com no MATLAB usando a função . Lembra dela? Ela tem como entrada dois vetores com os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência. Repare que o denominador de está fatorizado. Logo, para podermos pegar os coeficientes dele, precisamos expandi-lo (isto é, multiplicar os termos) para gerarmos o polinômio. Por isso, antes de usarmos , faremos uma manipulação algébrica com o denominador de .

Para obter o polinômio do denominador de , vamos multipicar seus termos usando o MATLAB. Em um novo script, digite as linhas de código:

Na primeira linha, criamos uma variável simbólica .

Na segunda linha, entramos com o denominador de , armazenando-o na variável .

Na terceira linha, usamos o comando do MATLAB em . Este comando multiplicará os termos de e gerará o polinômio que precisamos, armazenando-o em .

Rodando o programa, temos:

Agora que temos o polinômio do denominador de , podemos criar os vetores que servirão de entrada para . Lembrando que que tem como sintaxe:

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

Em um novo script ou no script onde você obteve , vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .

A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo, já incluimos o comando para criar , que será armazenado na variável .

É bom dar uma conferida em antes de continuar. Para isto, rode o programa que você tem até agora e imprima no Command Window:

Tudo certinho, bora plotar o diagrama de Nyquist ;)

Para plotar o diagrama de Nyquist, use a função , que tem como sintaxe:

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando do MATLAB (representada por acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para .

Adicione em seu código o comando:

Execute o programa e você terá o diagrama de Nyquist de :

Com o diagrama de Nyquist em mãos, podemos avaliar a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist, que é dado pela equação:

Onde:

• é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
• é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de . é positivo se a volta for no sentido horário. Se for no sentido anti-horário, é negativo.
• é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.

Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, deve ser igual a .

O é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, . Para isto, é mais fácil a gente pegar o dado diretamente no enunciado, onde os termos do denominador não foram multiplicados:

Neste exercício, o denominador de é , que tem como raizes , e . Logo, não tem polos positivos e .

é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo anterior:

Tem uma cruzinha vermelha no gráfico, reparou? Essa cruzinha marca o ponto de coordenadadas . Vamos dar um zoom na região da cruzinha, para ver quantas voltas o diagrama de Nyquist dá em torno dela:

O diagrama de Nyquist (representado pela curva azul) dá duas voltas em torno da cruzinha, ambas em sentido horário, logo, .

Tendo e , calculamos . Temos que . Como é diferente de , o sistema é instável.

O exercício pede para vermos se um sistema é estável ou não usando o critério de Nyquist. Para isto, usaremos a função do MATLAB para plotar o diagrama de Nyquist de e determinaremos a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist no gráfico gerado pelo MATLAB.

Antes de usar , vamos entrar com no MATLAB usando a função . Lembra dela? Ela tem como entrada dois vetores com os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência. Repare que o denominador de está fatorizado em parte. Logo, para podermos pegar os coeficientes dele, precisamos expandi-lo (isto é, multiplicar os termos) para gerarmos o polinômio. Por isso, antes de usarmos , faremos uma manipulação algébrica com o denominador de .

Para obter o polinômio do denominador de , vamos multipicar seus termos usando o MATLAB. Em um novo script, digite as linhas de código:

Na primeira linha, criamos uma variável simbólica .

Na segunda linha, entramos com o denominador de , armazenando-o na variável .

Na terceira linha, usamos o comando do MATLAB em . Este comando multiplicará os termos de e gerará o polinômio que precisamos, armazenando-o em .

Rodando o programa, temos:

Agora que temos o polinômio do denominador de , podemos criar os vetores que servirão de entrada para . Lembrando que que tem como sintaxe:

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

Em um novo script ou no script onde você obteve , vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .

A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de, indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo, já incluimos o comando para criar , que será armazenado na variável .

É bom dar uma conferida em antes de continuar. Para isto, rode o programa que você tem até agora e imprima no Command Window:

Estando tudo nos conformes, podemos partir para o próximo passo, que é plotar o diagrama de Nyquist.

Para plotar o diagrama de Nyquist, use a função , que tem como sintaxe:

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando do MATLAB (representada por acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para .

Adicione em seu código o comando:

Execute o programa e você terá o diagrama de Nyquist de :

Com o diagrama de Nyquist em mãos, podemos avaliar a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist, que é dado pela equação:

Onde:

• é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
• é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de . é positivo se a volta for no sentido horário. Se for no sentido anti-horário, é negativo.
• é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.

Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, deve ser igual a .

O é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, . Para isto, é mais fácil a gente pegar o dado diretamente no enunciado, onde os termos do denominador não foram multiplicados:

Neste exercício, o denominador de é e tem três raízes. A primeira raiz é fácil de achar: é . Para encontrar as duas raízes restantes, do polinômio de grau , vamos usar a função do MATLAB, que tem como sintaxe:

Ela tem como entrada o vetor , que contém os coeficientes do polinômio cuja raízes queremos encontrar, indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente. O comando retorna as raízes do polinômio e as armazena em .

No nosso exercício, queremos encontrar as raízes de . Logo, o vetor é:

Vamos adicionar no nosso script do MATLAB o comando para acharmos as raízes:

Executando o programa, temos que as raízes de são dois números complexos:

Logo, as três raízes do denominador são , e . Quando temos zeros que são números complexos, avaliamos a parte real do número. Como a parte real das raízes e é negativa, , não tem polos positivos e .

é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo :

Tem uma cruzinha vermelha na extremidade esquerda do gráfico, reparou? Essa cruzinha marca o ponto de coordenadadas . Como a cruzinha está fora do diagrama de Nyquist (que é a curva azul com flechinhas), o diagrama não dá volta alguma em torno de , logo,

Tendo e , calculamos . Temos que . Como , o sistema é estável.

Vamos avaliar se um sistema é estável ou não usando o critério de Nyquist. Para isto, usaremos a função do MATLAB para plotar o diagrama de Nyquist de e, a partir do gráfico, veremos a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist.

Antes de usar , usaremos a função para entrar com no MATLAB. Como o denominador de está fatorizado, precisamos expandi-lo para sabermos como será a entrada de . Por isso, antes de usarmos , vamos multiplicar os termos do denominador de .

Vamos multipicar os termos do denominador de usando o MATLAB. Em um novo script, digite as linhas de código:

Na primeira linha, definimos uma variável simbólica .

Na segunda linha, entramos com o denominador de , armazenando-o na variável .

Na terceira linha, usamos o comando do MATLAB em . Este comando multiplicará os termos de e gerará um polinômio, que é armazenado em .

Rodando o programa, temos:

Após expandir o denominador de , vamos criar os vetores que servirão de entrada para , que tem a sintaxe:

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

Em um novo script ou no mesmo script onde foi calculado, vamos criar duas variáveis com os coeficientes dos polinômios, que serão a entrada de . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .

A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo das linhas onde as variáveis e foram criadas, já colocamos o comando para criar , que será armazenado em .

Uma dica: confira antes de continuar, pra ver se não digitou nada de errado. Para isto, rode o programa que você tem até agora e imprima no Command Window:

Estando tudo certinho, podemos plotar o diagrama de Nyquist de .

Para plotar o diagrama de Nyquist, use a função , que tem como sintaxe:

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando do MATLAB (representada por acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para .

Adicione em seu código o comando:

Execute o programa e você terá o diagrama de Nyquist de :

Com o diagrama de Nyquist plotado, podemos utilizá-lo para avaliar a estabilidade do sistema por meio do critério de Nyquist, que é dado pela equação:

Onde:

• é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
• é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de . é positivo se a volta for no sentido horário. Se for no sentido anti-horário, é negativo.
• é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.

Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, deve ser igual a .

O é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, . Para isto, é mais fácil a gente pegar o dado diretamente no enunciado, onde os termos do denominador não foram multiplicados:

Neste exercício, o denominador de é , que tem como raízes , e . Logo, não tem polos positivos e .

é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo anterior:

Note a cruzinha vermelha na lateral esquerda do gráfico. Essa cruzinha marca o ponto de coordenadadas . Como a cruzinha vermelha está fora do diagrama de Nyquist (representado pela curva azul), o diagrama não dá volta alguma em torno dela, por isso, .

Tendo e , calculamos . Temos que . Como é igual a , o sistema é estável.

Vamos avaliar a estabilidade de um sistema usando o critério de Nyquist. Para isto, usaremos a função do MATLAB para plotar o diagrama de Nyquist de e, a partir do gráfico, veremos a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist. Mas antes de usar , precisamos entrar com , por meio da função .

A função serve para criar funções de transferência e tem como sintaxe:

Ela tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

Em um novo script, vamos as entradas de . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável contendo seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .

A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo das linhas onde e foram criados, já digitamos o comando para criar , que será armazenado em .

Antes de continuar, verifique pra ver se não digitou nada de errado. Para isto, rode o programa que você tem até agora e imprima no Command Window:

Estando tudo OK, podemos plotar o diagrama de Nyquist.

Use a função para gerar o diagrama de Nyquist, que tem como sintaxe:

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando do MATLAB (representada por acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para .

Adicione em seu código o comando:

Execute o programa para ver o diagrama de Nyquist de :

Meio esquisito, né? Talvez você se assuste com esse formato diferente do que vimos nos exercícios anteriores, mas você vai ver no próximo passo que a análise do diagrama pelo critério de Nyquist não tem nada de diferente do que vimos até aqui.

Vamos utilizar o diagrama de Nyquist plotado para avaliar a estabilidade do sistema por meio do critério de Nyquist, que é dado pela equação:

Onde:

• é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
• é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de . é positivo se a volta for no sentido horário. Se for no sentido anti-horário, é negativo.
• é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.

Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, deve ser igual a .

O é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, :

O denominador de é , que tem como raízes e . Logo, não tem polos positivos e .

é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo anterior:

Note a cruzinha vermelha na lateral esquerda do gráfico. Essa cruzinha marca o ponto de coordenadadas . Como a cruzinha vermelha está fora do diagrama de Nyquist (representado pela curva azul), o diagrama não dá volta alguma em torno dela, por isso, .

Tendo e , calculamos . Temos que . Como é igual a , o sistema é estável.