Teoria

Introdução

E aí, galerinha mais linda do Brasil, tudo joia? Se você está passando por alguma disciplina de Controle ou já passou, já deve ter ouvido falar do diagrama de Bode.

O diagrama de Bode é a representação gráfica da razão de amplitude (RA) entre a resposta e a entrada e do ângulo de fase, que é o ângulo que a resposta avança ou atrasa em relação à entrada. Para relembrarmos direitinho do que se trata, vamos de exemplo. Digamos que você tenha a seguinte função de transferência:

H s = 1 s + 2

O diagrama de Bode para H ( s ) é:

O gráfico acima é a razão de amplitude, em decibéis (dB), e o gráfico abaixo, o ângulo de fase em graus (°). Ambos estão em função da frequência, em rad/s, em uma escala logarítmica.

A partir do diagrama de Bode, podemos tirar algumas informações sobre o sistema dinâmico modelado pela função de transferência, como se o sistema é estável ou não ou qual o máximo valor de ganho que podemos usar de forma que o sistema continue estável (o que chamamos de margem de ganho).

Caso os conceitos de diagrama de Bode não estejam muito frescos na sua memória, não esquente, aqui no Responde Aí, temos uma seção de Sistemas de Controle, que tem um capítulo inteirinho só falando de diagrama de Bode e de como utilizá-lo.

Na aula de hoje, vamos aprender como plotar diagramas de Bode no MATLAB, a fazer uma análise de estabilidade a partir dos diagramas gerados e a obter a margem de ganho. Bora lá?

Plotando um diagrama de Bode no MATLAB

O comando para plotar um diagrama de Bode no MATLAB é bem diretão:

b o d e ( f u n ç ã o   d e   t r a n s f e r ê n c i a )

Ele tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando t f do MATLAB, e ele gera um gráfico com o diagrama de Bode para a f u n ç ã o   d e   t r a n s f e r ê n c i a .

Vamos ver no MATLAB como fica. Vamos gerar o diagrama de Bode para a função de transferência:

G s = 81 s 3 + 9 s 2 + 27 s + 27

Em um script novo, entre com G ( s ) no MATLAB usando a função t f , digitando as seguintes linhas de código:

Na primeira linha, criamos uma variável n u m que contém o numerador de G ( s ) .

Na segunda linha, criamos um vetor d e n em que cada elemento é um coeficiente do polinômio do denominador, indo do componente com maior expoente ( s ³ ) ao de menor expoente ( s 0 = 1 ).

Na terceira linha, usamos a função t f para criar G ( s ) .

Para plotar o diagrama de Bode de G ( s ) , incluímos no script o comando:

Ao executar o programa, teremos o diagrama de Bode para G ( s ) :

A curva de cima é a curva de razão de amplitude e a curva de baixo, de ângulo de fase. O MATLAB chama a razão de amplitude de M a g n i t u d e .

Bem lindo e prático, né? O mais legal é que existem algumas informações que podemos tirar deste plot.

Estabilidade e diagramas de Bode

A partir do diagrama de Bode, podemos avaliar a estabilidade de um sistema usando o critério de Bode. O critério de Bode diz que um sistema é estável se a razão de amplitude for menor que 0   d B na frequência em que o ângulo de fase atinge - 180 ° .

Vamos aplicar esse critério no diagrama de Bode de G ( s ) . Para facilitar acharmos o ângulo de fase igual a - 180 ° , recomendo colocar o comando g r i d   o n logo abaixo do comando b o d e ( G ) , para o gráfico ter linhas de grade. O código no MATLAB ficaria assim:

Quando executarmos o programa, teremos o diagrama de Bode de G ( s ) com linhas de grade. Ao clicar sobre as curvas azuis dos gráficos, se formará um quadradinho preto dando as informações de frequência, razão de amplitude e ângulo de fase do ponto onde clicamos.

Para avaliar a estabilidade do sistema usando o critério de Bode, clique sobre a curva do ângulo de fase e ache o ponto onde o ângulo é igual a - 180 ° , como na figura abaixo:

Vemos que, quando o ângulo de fase atinge - 180 ° , a frequência é de 5,22   r a d / s .

Agora, veja na curva de razão de amplitude ( M a g n i t u d e no MATLAB) qual é a RA na frequência de 5,22   r a d / s , clicando sobre a curva e arrastando o quadradinho preto até encontrar esse valor de frequência, como na figura abaixo:

Vemos que a RA é de - 8,63   d B a uma frequência de 5,22   r a d / s . Pelo critério de Bode, o sistema é estável, pois a RA é menor que 0 na frequência onde o ângulo de fase é - 180 ° .

Margem de ganho e margem de fase

Outras informações que podemos extrair do diagrama de Bode, que têm tudo a ver com o critério de Bode, são as margens de ganho e de fase. Essas informações são muito importantes em projetos de controladores, pois ajudam a ver se o sistema está bem projetado e sintonizado.

A margem de ganho é o valor máximo que posso multiplicar o ganho de um sistema, de forma que ela permaneça estável. Se multiplicar o ganho por um valor maior que a margem de ganho, o sistema se torna instável.

A margem de fase define o quanto de atraso a malha ainda suporta antes de se tornar instável.

Em um sistema estável, ambas as margens são positivas.

Isso foi um brevíssimo resumo desses conceitos. Você pode vê-los com muito mais detalhe aqui no Responde Aí, no capítulo de Resposta em Frequência.

No MATLAB, encontramos as margens de ganho e de fase por meio do comando:

m a r g i n ( f u n ç ã o   d e   t r a n s f e r ê n c i a )

A função m a r g i n tem como entrada uma função de transferência criada usando o comando t f e ela gera, ao executarmos o programa, um gráfico com o diagrama de Bode de f u n ç ã o   d e   t r a n s f e r ê n c i a com indicações das margens de ganho e de fase.

Para exemplificar, vamos calcular a margem de ganho e a margem de fase do exemplo usado na seção acima. No script onde você entrou G ( s ) , substitua o comando b o d e ( G ) por m a r g i n ( G ) e apague o g r i d   o n . Seu programa agora tem essa cara:

Vamos rodar e ver o que acontece?

Voilà! O MATLAB nos dá o diagrama de Bode já com as margens de ganho e de fase. As margens são dadas no título do gráfico e são representadas pelas linhas verticais cheias. As linhas verticais pontilhadas indicam a frequência onde as margens foram medidas.

O MATLAB nos informa que a margem de ganho é 8,52   d B em 5,2   r a d / s . Como a margem de ganho é positiva, o sistema é estável. Já o ganho de fase é de 41,7 ° em 3,12   r a d / s . Novamente, como a margem é positiva, o sistema é estável.

O interessante é que as linhas tracejadas no gráfico indicam bem como as margens são encontradas em um diagrama de Bode.

Em um diagrama de Bode, a margem de ganho é calculada encontrando a frequência onde o ângulo de fase é - 180 ° e fazendo a diferença entre 0   d B e a RA nessa mesma frequência. Já a margem de fase é calculada encontrando a frequência onde a RA é 0   d B e fazendo a diferença entre o ângulo de fase nessa frequência e - 180 ° .

No gráfico acima, uma linha pontilhada horizontal passa por 0   d B (no gráfico de M a g n i t u d e ) e outra passa por - 180 ° (no gráfico de P h a s e ).

Além disso, no mesmo gráfico acima, note que a linha pontilhada vertical indicando a frequência da margem de ganho passa bem em cima do ponto onde o ângulo de fase é - 180 ° . Já a linha pontilhada vertical indicando a frequência da margem de fase passa bem em cima do ponto onde a RA é 0   d B .

E aí, curtiu a aula? Agora é praticar pra fixar bem o conteúdo ;)

Plotando um diagrama de Bode no MATLAB

Estabilidade e diagramas de Bode

Margem de ganho e margem de fase