Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Teóricos - Ex. 13
13 – Normalize as funções de onda:
A)
B)
Onde, K é uma constante
C)
D)
Sugestão: o elemento de volume em coordenadas esféricas é
Com,
Passo 1
Para normalizarmos uma função, temos que usar a seguinte relação matemática para uma função de onda ψ:
Onde, a função de onda ψ tem a forma:
Onde, N é o coeficiente de normalização que devemos achar, e f é a função característica da função de onda. Assim, de modo geral vamos ter que
Então, para normalizarmos a função de onda, basta encontrarmos o valor para a constante de normalização N.
Passo 2
A)
Sendo
Usando a relação anterior, com o intervalo fornecido:
Pela identidade trigonométrica:
Assim,
Resolvendo a integral acima chegamos que:
Sendo que
Logo,
Assim,
Passo 3
B)
Sendo
Analogamente,
Resolvendo a integral acima chegamos que:
Assim,
Passo 4
C)
Sendo
Assim,
Sendo
Com,
Assim,
Resolvendo as integrais:
As integrais foram resolvidas com auxílio do software matemático Wolfram Alpha.
Assim,
Passo 5
D)
Sendo:
Analogamente, ao item (C):
Sendo
Com,
Também temos que, em coordenadas esféricas, a variável cartesiana x se relaciona com as coordenadas esféricas da seguinte maneira
Assim,
Resolvendo as integrais:
As integrais foram resolvidas com auxílio do software matemático Wolfram Alpha.
Assim,
Resposta
A)
B)
C)
D)