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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Teóricos - Ex. 14

14 – Calcule os valores de x 3 e de x 4 para o oscilador harmônico aproveitando as relações na Tabela 9.1.

Passo 1

Para calcularmos os valores médios dos deslocamentos, para um oscilador harmônico, vamos utilizar a eq. 9.31 do Atkins usada para o cálculo de propriedades de osciladores, onde se é conhecido as funções de onda. A expressão da eq. 9.31 é a seguinte:

Ω = ∫ - ∞ ∞ ψ * Ω ψ d x                   E q 1

Onde, Ω é uma propriedade qualquer do oscilador harmônico.

Passo 2

Vamos expressar o deslocamento x da partícula em termos do parâmetro y, que é o deslocamento da partícula normalizado, expresso como:

x = α y

Onde, α é um parâmetro definido como:

α 2 = ħ m ω

O deslocamento médio da partícula elevado a determinado grau n pode ser estimado da seguinte maneira:

x n = α n y n

Assim, usando a Eq1, aplicada para o valor médio de y:

y n = ∫ - ∞ ∞ ψ * y n ψ d x

Assim,

x n = α n y n = α n ∫ - ∞ ∞ ψ * y n ψ d x

Sendo

d x = α d y

Assim,

x n = α n + 1 ∫ - ∞ ∞ ψ * y n ψ d y

Sendo

ψ * = ψ

Portanto, a expressão geral para o deslocamento médio elevado a n-ésima potência é:

x n = α n + 1 ∫ - ∞ ∞ ψ 2 y n d y

Passo 3

Para n = 3:

x 3 = α 4 ∫ - ∞ ∞ ψ 2 y 3 d y

Resolvendo a integral

∫ - ∞ ∞ ψ 2 y 3 d y

Por simetria, a integral acima vai ser nula, devido ao fato da função y3 ser uma função ímpar de y, e relembrando de cálculo, quando uma função é ímpar e os intervalos de integração vão de –B até B, por simetria, o resultado da integral é zero, assim

∫ - ∞ ∞ ψ 2 y 3 d y = 0

Logo,

x 3 = 0

Passo 4

Para n = 4:

x 4 = α 5 ∫ - ∞ ∞ ψ y 4 ψ d y

Resolvendo a integral

∫ - ∞ ∞ ψ y 4 ψ d y

Para este caso temos que a função, y 4 ψ , é dada pelo operador da função de onda de um oscilador harmônico que é:

ψ = N H v e - 0,5 y 2

Assim,

y 4 ψ = y 4 N H v e - 0,5 y 2

y 4 ψ = y 4 H v N e - 0,5 y 2

Passo 5

Pela tabela 9.1:

y 4 H v = y 3 0,5 H v + 1 + v H v - 1 = y 2 0,5 0,5 H v + 2 + v + 1 H v + v 0,5 H v + v - 1 H v - 2

y 4 H v = y 2 0,25 H v + 2 + v v + 1 H v - 2 + v - 0,5 H v

= y 0,25 0,5 H v + 3 + v + 2 H v + 1 + v + 0,5 0,5 H v + 1 + v H v - 1 + v v - 1 0,5 H v - 1 + v - 2 H v - 3

y 4 H v = y 0,125 H v + 3 + 0,75 v + 1 H v + 1 + 1,5 v 2 H v - 1 + v v - 1 v - 2 H v - 3

Pela tabela 9.1, também podemos simplificar a relação anterior, usando o conceito de Hv sendo ortogonal a todos, assim

y 4 H v = 0,75 2 v 2 + 2 v + 1 H v + …

Consequentemente,

y 4 ψ = y 4 H v N e - 0,5 y 2 = 0,75 2 v 2 + 2 v + 1 H v N e - 0,5 y 2

Passo 6

Com isso, substituindo na integral:

∫ - ∞ ∞ ψ y 4 ψ d y = ∫ - ∞ ∞ N H v e - 0,5 y 2 0,75 2 v 2 + 2 v + 1 H v N e - 0,5 y 2 d y

Simplificando,

∫ - ∞ ∞ ψ y 4 ψ d y = 0,75 2 v 2 + 2 v + 1 N 2 ∫ - ∞ ∞ H v 2 e - y 2 d y

Resolvendo a integral acima vamos chegar que:

∫ - ∞ ∞ ψ y 4 ψ d y = 3 4 α 2 v 2 + 2 v + 1

Passo 7

Voltando ao deslocamento médio elevado a 4ª potência:

x 4 = α 5 ∫ - ∞ ∞ ψ y 4 ψ d y

Assim,

x 4 = α 5 3 4 α 2 v 2 + 2 v + 1

x 4 = 0,75 α 4 2 v 2 + 2 v + 1

Resposta

x 3 = 0

x 4 = 0,75 α 4 2 v 2 + 2 v + 1

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