Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Teóricos - Ex. 14
14 – Calcule os valores de e de para o oscilador harmônico aproveitando as relações na Tabela 9.1.
Passo 1
Para calcularmos os valores médios dos deslocamentos, para um oscilador harmônico, vamos utilizar a eq. 9.31 do Atkins usada para o cálculo de propriedades de osciladores, onde se é conhecido as funções de onda. A expressão da eq. 9.31 é a seguinte:
Onde, Ω é uma propriedade qualquer do oscilador harmônico.
Passo 2
Vamos expressar o deslocamento x da partícula em termos do parâmetro y, que é o deslocamento da partícula normalizado, expresso como:
Onde, α é um parâmetro definido como:
O deslocamento médio da partícula elevado a determinado grau n pode ser estimado da seguinte maneira:
Assim, usando a Eq1, aplicada para o valor médio de y:
Assim,
Sendo
Assim,
Sendo
Portanto, a expressão geral para o deslocamento médio elevado a n-ésima potência é:
Passo 3
Para n = 3:
Resolvendo a integral
Por simetria, a integral acima vai ser nula, devido ao fato da função y3 ser uma função ímpar de y, e relembrando de cálculo, quando uma função é ímpar e os intervalos de integração vão de –B até B, por simetria, o resultado da integral é zero, assim
Logo,
Passo 4
Para n = 4:
Resolvendo a integral
Para este caso temos que a função, , é dada pelo operador da função de onda de um oscilador harmônico que é:
Assim,
Passo 5
Pela tabela 9.1:
Pela tabela 9.1, também podemos simplificar a relação anterior, usando o conceito de Hv sendo ortogonal a todos, assim
Consequentemente,
Passo 6
Com isso, substituindo na integral:
Simplificando,
Resolvendo a integral acima vamos chegar que:
Passo 7
Voltando ao deslocamento médio elevado a 4ª potência:
Assim,