Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 14a
14a – Localize os nós da função de onda do oscilador harmônico com ν=4.
Passo 1
A função de onda de um oscilador harmônico tem a seguinte expressão:
Onde,
-ψ é a função de onda;
-Nv é uma constante de normalização;
-Hv é um fator que depende do deslocamento x e é dado em forma de polinômios de Hermite, para cada nível do estado de energia.
-y é definido em função do deslocamento x, pela seguinte expressão
Onde,
Onde,
-m é a massa da partícula;
-x é o deslocamento da partícula;
-ħ é a constante de Planck, h, divido por 2π:
-k é uma constante de proporcionalidade da energia potencial do sistema.
Passo 2
Vamos rever alguns conceitos.
Os nós de uma função de onda, são aqueles pontos onde a função de onda atinge um valor nulo. Assim, para encontrarmos os nós da função de onda do oscilador harmônico dado pela Eq1, vamos igualar essa equação a zero e encontrar os valores de x que solucionam essa equação.
Analisando a função exponencial da Eq1, você vai ver que para que a função de onda seja zero, ou a função exponencial deve ser a zero ou a função de Hermite (Hv) deve ser. Para que a função exponencial seja zero, o valor de x deve tender ao infinito e isso é improvável fisicamente. Portanto, para que a função de onda seja zero, o polinômio de Hermite deve ser zero.
Assim, os nós da função de onda devem ser para quando a função HV(y) for zero.
Passo 3
Para ν=4, da Tabela 9.1:
Você consegue resolve a eq. acima por um método iterativo ou você pode fazer o seguinte:
Assim,
Agora você tem que resolver uma Eq. do segundo grau, que se resolve por Bhaskara
Ou,
Passo 4
Assim, para y e x:
E também,
Assim, os nós são: