Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Teóricos - Ex. 15
15 – Determine os valores de:
Para:
A) uma partícula numa caixa de comprimento L e;
B) para um oscilador harmônico.
Discuta essas grandezas em termos do princípio da incerteza.
Passo 1
A)
Vamos começar determinando os valores dos deslocamentos médios linear e quadrática.
O deslocamento médio linear para uma partícula em uma caixa de comprimento L, pode ser determinado por:
Onde, a função de onda para uma partícula em uma caixa é dada por:
Assim,
Passo 2
Resolvendo a integral
A integral foi resolvida utilizando um software matemático (Wolfram Alpha).
Assim,
Passo 3
Analogamente, para o deslocamento médio quadrático:
Resolvendo a integral
A integral foi resolvida utilizando um software matemático (Wolfram Alpha).
Assim,
Passo 4
Sendo
Assim, substituindo
Passo 5
Para o momento linear:
Analogamente,
Sendo o momento linear p expresso como
Assim
Derivando
Substituindo essa relação na integral:
Passo 6
Aplicando os intervalos:
Então você vai ter que resolver a seguinte integral definida
Utilizando o Wolfram Alpha, que você pode utilizar outro programa, tal como o Matlab, ou Python.
O resultado acima também pode ser obtido usando o conceito de simetria, onde a função composta pelo produto de seno com cosseno resultará em uma função ímpar que por simetria possui valor da integral nula.
Consequentemente,
Passo 7
Para a média quadrática, podemos relembrar da expressão da energia E que se relaciona com o momento linear da seguinte forma:
Onde, a energia E para o nível n de energia é dado por:
Assim,
Isolando p2
Assim,
Passo 8
Consequentemente:
Passo 9
B)
Analogamente, para um oscilador harmônico, que possui intervalos variando de menos infinito até mais infinito, assim:
Sendo
Assim, substituindo
A integral acima é nula, pois a função y é uma função ímpar, e para funções ímpares com intervalos de integração indo de –B até B, a integral é nula, que você pode se lembrar de cálculo. Assim,
Passo 10
O deslocamento médio quadrático de um oscilador harmônico, pode ser estimado por meio da expressão da energia potencial média, cuja expressão é
Assim,
Pela eq. 9.35, temos a seguinte relação entre a energia potencial e a energia cinética, dada pelo teorema do virial:
Com,
Assim,
Logo,
Pelo Problema 9.13, chegou-se que no resultado para a energia cinética média de um oscilador harmônico é:
Portanto,
Passo 11
Consequentemente:
Passo 12
Para o momento linear:
Analogamente, também por simetria:
Para a média quadrática:
Onde,
Assim,
Passo 13
Consequentemente:
Resposta
A)
B)