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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 14a

14a – Determine os comutadores dos operadores (a) d/dx e 1/x, (b) d/dx e x2.

Passo 1

Pela Ilustração 8.3 do Atkins, temos que um comutador pode ser determinado pela seguinte relação

Ω 1 , Ω 2 = Ω 1 Ω 2 - Ω 2 Ω 1

O comutador acima é referente aos operadores Ω1 e Ω2. Para obtermos o comutador, será necessário aplicar os operadores acima nas funções correspondentes, assim

Ω 1 , Ω 2 = Ω 1 Ω 2 f ( x ) - Ω 2 Ω 1 f ( x )

Passo 2

A)

Sendo

Ω 1 = d d x

Ω 2 = 1 x

Aplicando os operadores para a função.

Assim,

Ω 1 , Ω 2 f x = d d x 1 x f ( x )   - 1 x d f ( x ) d x

Ω 1 , Ω 2 f ( x ) = f ( x ) d ( 1 / x   ) d x - 1 x d d x

d 1 x d x = - 1 x 2

Assim,

Ω 1 , Ω 2 f x = - 1 x 2 f ( x )

Logo,

Ω 1 , Ω 2 = - 1 x 2

Passo 3

B)

Para este item:

Analogamente,

Sendo

Ω 1 = d d x

Ω 2 = x 2

Aplicando os operadores para a função.

Assim,

Ω 1 , Ω 2 f x = d d x x 2   f ( x )   - x 2 d f ( x ) d x

Ω 1 , Ω 2 f ( x ) = f ( x ) d ( x 2 ) d x x 2 d d x  

d x 2 d x = 2 x

Assim,

Ω 1 , Ω 2 f x = 2 x f ( x )

Logo,

Ω 1 , Ω 2 = 2 x

Resposta

A)

Ω 1 , Ω 2 = - 1 x 2

B)

Ω 1 , Ω 2 = 2 x

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