Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 15.Aplicações - Ex. 21
21 – A interação de uma molécula pequena com um bipolímero ou uma organela pode impedir a sua rotação livre em todas as direções, fazendo com que sua interação dipolar média não se anule. Considere que uma molécula está ligada de tal forma que, embora o vetor que separa dois prótons possa rodar livremente em torno do eixo dos z, a colatitude só pode variar entre 0 e θ’. Obtenha o valor médio do campo dipolar sobre essa faixa restrita de orientações e confirme que essa média se anula quando θ’ = π (correspondendo à rotação sobre toda a esfera). Qual é o valor médio do campo dipolar local para a molécula de H2O no Problema 15.15, se ela está ligada a um biopolímero que só permite sua rotação até θ’ = 30°?
Passo 1
Vamos relembrar que para um campo magnético local, ou o campo magnético do núcleo da molécula, temos uma equação que é a Eq. 15.28 do Atkins, sendo ela a seguinte:
Onde,
-ℬnuc é o campo magnético do núcleo da partícula;
-γ é uma constante conhecida como a razão giromagnética do elétron;
-ħ é a constante de Planck, h, dividido por 2π:
-μ0 é permeabilidade no vácuo;
-R é a distância entre os prótons;
-θ é o ângulo de orientação da molécula;
-mI é o nº quântico do spin do elétron;
Passo 2
Vamos relembrar que o produto entre a constante giromagnética, γ, e a constante de Planck, ħ, pode ser escrita como
Onde,
-gI é o fator de nuclear, cujo seu valor é 5,5857;
-μN é o momento magnético nuclear, μN=5,0508x10-27 J T-1;
Assim, a Eq1 pode ser escrita da seguinte forma:
Passo 3
Para determinarmos o campo magnético médio, lembrando que quando precisamos calcular o valor médio de alguma variável, nós podemos usar a integral definida sob um determinado intervalo para obter seu valor médio, assim
O denominador representa a constante de normalização e ela significa a probabilidade total dentro da faixa de valores de 0 a θ’.
Substituindo pela expressão de ℬnuc:
Retirando os termos que não dependem do ângulo teta de dentro da integral:
Passo 4
Vamos então resolver a razão das integrais simultaneamente
Podemos fazer uma substituição simples, da seguinte forma
Assim,
Com isso,
Resolvendo a integral vamos chegar em
Passo 5
Substituindo as relações de x:
Aplicando os valores do intervalo:
Portanto, a equação para o campo médio dipolar é:
Passo 6
Quando θ’ = π:
Assim,
Então, quando θ’ = π:
Passo 7
Agora para calcularmos o valor médio do campo dipolar local para a molécula de H2O no Problema 15.15, para θ’ = 30°, vamos pegar a Eq2 que obtemos, e os dados do problema 15.15
Pelo problema 15.15:
O valor de R obtido no problema 15.15 foi
Com a Eq2:
Aplicando os valores:
Sendo que
Assim,
Resposta
Quando θ’ = π:
Quando θ’ = 30°: