23 – A espectroscopia de RMN pode ser usada para a determinação da constante de equilíbrio para a dissociação de um complexo formado entre uma molécula pequena, como um inibidor enzimático I, e uma proteína, como uma enzima E:

No limite de troca química lenta, o espectro de RMN de um próotn em I consiste em duas ressonâncias, uma em νI, para I livre, e outra a νEI, para I ligado. Em troca química rápida, o espectro de RMN do mesmo próton consiste em uma única linha, com frequência de ressonância, ν, dada por

Onde, fI é a fração de I livre e fEI é a fração de I ligado, definido por

Para facilitar a análise dos dados, é conveniente definir as diferenças de frequência

Mostre que, quando a concentração inicial de I, [I]0, é muito maior que a concentração inicial de E, [E]0, o gráfico de [I]0 contra (δν)-1 é linear, com coeficiente angular [E]0Δν e interseção –K1.

Como foi dito no enunciado, espera-se obter uma relação linear entre [I]0 e (δν)-1, com coeficiente angular [E]0Δν e interseção –K1. Dessa forma a equação que devemos verificar é a seguinte:

Onde,

-[I]0 é a concentração inicial de I;

-[E]0 é a concentração inicial de E;

-K é a constante de equilíbrio;

-Δν é a variação da frequência entre os componentes EI e I;

-δν é a diferença de frequências entre a frequência de ressonância do espectro de RMN e o componente I;

Para você verificar se a Eq1 é válida, você pode pegar as expressões fornecidas no enunciado e expressa-las em termos das variáveis e parâmetros da Eq1.

Vamos começar pegando a seguinte expressão para a frequência de ressonância do RMN:

Sabemos que

Assim, substituindo:

Sendo que por balanço de massa temos que a concentração inicial de I, [I]0, é divido em duas concentrações: a concentração de E, [E], e a de I, [I], assim matematicamente:

Então,

Então, vamos isolar [EI]:

Sendo que

Assim,

Pela equação do quociente de concentrações, ou seja, a equação da constante de equilíbrio K:

Vamos fazer um balanço de massa agora para E, onde sua concentração [E] é a concentração inicial [E]0 menos a concentração de EI, [EI], assim

Analogamente para I

Substituindo essas relações na equação da constante de equilíbrio K:

Como a concentração inicial de I é muito maior do que a concentração inicial de E, com isso podemos assumir também que

Logo,

Vamos isolar [I]0

E pela Eq2

Substituindo

Vamos agora fazer algumas manipulações algébricas para tentar explicitarmos o termo de [I]0 na equação anterior

Portanto, conseguimos chegar exatamente na mesma forma da Eq1 que representa uma relação linear entre [I]0 e (δν)-1.