27 – Deduza (em coordenadas cartesianas) os operadores quânticos dos três componentes do momento angular, partindo da definição clássica I = r x p. Mostre que quaisquer duas componentes não são comutativas, e encontre, em cada caso, o respectivo comutador.

Vamos relembrar também que os vetores i, j e k, representam, respectivamente, o vetor do componente x, o vetor da componente y e o vetor da componente z.

Com isso, as componentes do vetor momento angular (I) são:

Componente x:

Sendo

Assim,

Analogamente,

Componente y:

Componente y:

Para mostrarmos que quaisquer duas componentes não são comutativos, vamos pegar o comutador de dois duas componentes, tal como para Ix e Iy, que é:

Se essa diferença for nula, então os dois componentes são comutativos caso contrário não são comutativas, portanto o resultado da diferença não deve ser zero.

Calculando IxIy de uma função qualquer f:

Pois,

Resolvendo,

Calculando IyIx de uma função qualquer f:

Resolvendo,

Assumindo que as derivadas sejam comutativas, isto é,

Assim, vamos ter que

Resolvendo vamos chegar que:

Lembrando que

Assim,

Para você encontrar os outros comutadores, basta você repetir os mesmos passos que fez anteriormente. Fazendo isso vai chegar em:

Analogamente,