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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Numéricos - Ex. 7

Calcule a correção de segunda ordem para a energia do sistema descrito no Problema 9.6 e calcule a função de onda do estado fundamental. Explique a forma da distorção causada pela perturbação. Sugestão. As seguintes integrais são úteis

∫ x sen ⁡ a x sen ⁡ b x d x = - d d a ∫ cos ⁡ a x sen ⁡ b x d x

cos ⁡ a x sen ⁡ b x d x = cos ⁡ a - b x 2 a - b - cos ⁡ a + b x 2 a + b + c o n s t a n t e

Passo 1

Simbora!

A correção de segunda ordem será dada por:

E 1 2 = ∑ n = 2 ∞ ∫ L 0 ψ n 0 * H 1 ψ 1 0 d x 2 E 1 0 - E n 0

Tendo, H 1 = m g x ,   ψ n 0 = sen ⁡ π n x L ,   E n = n 2 h 2 8 m L 2 , assim, o denominador:

E 1 0 - E n 0 = 1 - n 2 h 2 8 m L 2

Substituindo o que sabemos, vamos resolver a integral, teremos:

∫ L 0 ψ n 0 * H 1 ψ 1 0 d x = 2 m g L ∫ 0 L x sen ⁡ a x sen ⁡ b x d x

Tendo, a = n π L   e   b = π L . Resolvendo a integral e aplicando identidades trigonométricas necessárias, teremos:

∫ L 0 ψ n 0 * H 1 ψ 1 0 d x = 4 m g L - 1 n + 1 - 1 n π 2 n 2 - 1 2

Passo 2

Temos o resultado da integral e do denominador, certo?! Vamos substituir na expressão da correção de segunda ordem, assim, teremos:

E 1 2 = - 128 m 3 g 2 L 4 π 4 h 2 ∑ n = 2 ∞ - 1 n + 1 2 n 2 n 2 - 1 5

Trocando n por 2k, teremos:

E 1 2 = - 2048 m 3 g 2 L 4 π 4 h 2 ∑ k = 1 ∞ k 2 4 k 2 - 1 5

Ao utilizar algum software qualquer, poderemos encontrar que esse somatório vai convergir para 4,121 × 10 - 3 , assim:

E 1 2 = - 0,08664 m 3 g 2 L 4 h 2

Passo 3

Para a correção de primeira ordem, encontramos a função de onda a partir de:

ψ 0 1 = ∑ n c n ψ n 0

onde c n é:

c n = ∫ L 0 ψ n 0 * H 1 ψ 1 0 d x E n 0 - E 1 0 = 32 m 2 g L 3 - 1 n + 1 n π 2 h 2 n 2 - 1 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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