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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 4

Demonstre que o valor esperado da distância do elétron ao núcleo no estado fundamental do átomo de hidrogênio é r = 3 2 a 0 .

Passo 1

Na seção 10.5, encontramos a função de onda para o estado fundamental do átomo de hidrogênio:

φ r = 1 π a 0 3 e - r a 0

Com isso, a densidade de probabilidade é dada por

φ r 2 = 1 π a 0 3 e - 2 r a 0

Para achar o valor esperado de qualquer função de f = f ( r ) , temos que integar sobre todo o espaço:

f r = ∫ f r   φ r 2   d V

Usando coordenadas esféricas, temos que

f r = ∫ 4 π r 2   f r   φ r 2   d r

Passo 2

No nosso problema, f r = r :

r = ∫ 4 π r 2 ⋅ r ⋅   φ r 2   d r

Logo,

r = ∫ 4 π r 3 ⋅ 1 π a 0 3 e - 2 r a 0   d r = 4 a 0 3 ∫ 0 ∞ r 3   e - 2 r / a 0   d r

Essa integral pode ser calculada aplicando integração por partes algumas vezes ou usando o truque de Feynman. Mas se você chegou até aqui no seu estudo de física, o que menos importa para o problema é a integral. Por isso, vamos usar uma fórmula tabelada:

∫ 0 ∞ x n e - x / a   d x = n ! a n + 1

Essas fórmulas tabeladas são bem importantes em mecânica quântica pois integrais desse tipo são bem recorrentes!

Nesse caso, temos n = 3 e a = a 0 / 2 :

∫ 0 ∞ r 3   e - 2 r / a 0   d r = 3 ! a 0 2 4 = 6 ⋅ a 0 4 16 = 3 a 0 4 8

Logo,

r = 4 a 0 3 ⋅ 3 a 0 4 8

Portanto,

r = 3 2 a 0

Resposta

Demonstração.

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