Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 4

Demonstre que o valor esperado da distância do elétron ao núcleo no estado fundamental do átomo de hidrogênio é .

Passo 1

Na seção 10.5, encontramos a função de onda para o estado fundamental do átomo de hidrogênio:

Com isso, a densidade de probabilidade é dada por

Para achar o valor esperado de qualquer função de , temos que integar sobre todo o espaço:

Usando coordenadas esféricas, temos que

Passo 2

No nosso problema, :

Logo,

Essa integral pode ser calculada aplicando integração por partes algumas vezes ou usando o truque de Feynman. Mas se você chegou até aqui no seu estudo de física, o que menos importa para o problema é a integral. Por isso, vamos usar uma fórmula tabelada:

Essas fórmulas tabeladas são bem importantes em mecânica quântica pois integrais desse tipo são bem recorrentes!

Nesse caso, temos e :

Logo,

Portanto,

Resposta

Demonstração.

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Qual é a probabilidade de que, no estado fundamental do átomo de hidrogênio, o elétron seja encontrado a uma distância de núcleo maior que o raio de Bohr?

A densidade de propabilidade radial para o estado fundamental do átomo de hidrogênio é máxima para r = a , onde a é o raio de Bohr. Mostre qye o valor médio de r , definido como r m é d = ∫ P rrd r é

17 – Algumas propriedades atômicas dependem do valor médio de 1/r ao invés do valor médio de r. Calcule o valor médio de 1/r para (A) o orbital 1s do átomo de hidrogênio, (B) o orbital 2s de um átomo

13 – As expressões para alguns orbitais hidrogenóides são dadas nas Tabelas 10.1 e 9.3.A) Verifique que o orbital 3px está normalizado e que é ortogonal ao orbital 3dxy.B) Determine as posições dos nó

(a) Duas funções de onda (não-normalizadas) de estado excitados de átomo de H são i ψ = 2 - r a 0 e - r a 0i iψ = rs e n θ c o s ϕe - r 2 a 0 Normalize as duas funções. (b) Confirme que essas duas fun