Compensadores digitais
Produzido por Alexandre NunesTeoria
Introdução
Quando estávamos estudando o controle analógico, nós estudamos um importante elemento dos sistemas de controle que são os compensadores.
Os compensadores, são usados para melhorar algum aspecto da resposta do nosso sistema. Eles podem ser usados para melhorar a resposta transitória, deixando o sistema mais estável e menos oscilatório. Outro uso muito comum dos compensadores é para reduzir o erro em regime permanente.
Lembra como era a função de transferência padrão dos compensadores? Não? Pois ela tá aqui embaixo:
Os compensadores podem ser do tipo avanço de fase ou atraso de fase.
Os compensadores de avanço de fase possuem o zero maior que o polo. Esses compensadores são usados para melhorar a resposta transitória do sistema.
Os compensadores de atraso de fase, por sua vez, possuem os zeros muito menores que o polo. Outra característica desses compensadores é que tanto os polos quanto os zeros são valores bem próximos de . Os compensadores de atraso de fase são usados principalmente para reduzir o erro em regime permanente do sistema.
Os compensadores digitais, por sua vez, vão manter as principais características dos compensadores analógicos. A função de transferência geral dos compensadores digitais será análoga à dos compensadores analógicos, apenas mudando o por .
Como os polos e zeros dos compensadores digitais podem ser positivos, nós vamos usar a expressão geral com “menos” e não com “mais”.
Além disso, os compensadores digitais têm a mesma função no sistema que os compensadores analógicos: melhorar a resposta transitória (avanço), reduzir o erro em regime permanente (atraso). E os métodos para projetar os compensadores digitais são análogos aos métodos para o projeto analógico. Vamos ver melhor como fazer esse projeto?
Compensadores de avanço
Para projetar compensadores de avanço analógicos, nós precisamos de especificações da resposta transitória. Essas especificações geralmente são dadas na forma do overshoot máximo permitido (ou fator de amortecimento, ) e do tempo de decaimento, .
Com e nós devemos calcular o polo dominante, e todo o projeto se dá em torno desse polo dominante. O polo dominante tem a seguinte fórmula:
Para projetar um compensador digital, nós também devemos seguir todos esses passos, e após achar o polo dominante no domínio , devemos transformar esse polo para o domínio .
A demonstração para essa transformação é um pouco chata, então vou pular direto para o que interessa. Para achar o polo dominante no domínio , devemos encontrar o módulo e o ângulo de fase do polo no domínio . Isso pode ser calculado da seguinte fórmula:
Onde é o período de amostragem do sistema.
Sendo assim, após isso teremos o polo dominante no domínio em coordenadas polares:
Por exemplo, se tivermos os polos dominantes no plano :
Sendo assim, teremos:
Podemos calcular então onde esse polo vai se encontrar no plano utilizando as fórmulas ali de cima. Vamos considerar o período de amostragem :
Ou seja:
Mas isso está em coordenadas polares, significo que o polo tem módulo e faz um ângulo de . Graficamente, podemos representar isso da seguinte forma:
Precisamos passar isso para coordenadas retangulares, ou seja, precisamos encontrar e para conseguir escrever o polo da seguinte maneira:
Podemos fazer isso usando trigonometria:
Para o nosso exemplo teremos:
Portanto:
Dica: essa conversão também pode ser feita usando a função “Rec(“ da sua calculadora.
Em seguida, o projeto do compensador de avanço de fase deve seguir normalmente.
Para nossa felicidade, as regras que usamos no projeto analógico ainda funcionam aqui. Portanto:
Sendo assim, podemos arbitrar um zero e encontrar um zero que garanta que o lugar das raízes passe pelo polo dominante através da regra do ângulo de fase.
Após encontrar o polo e o zero, podemos encontrar o ganho do compensador através da regra do módulo.
Se você não lembra muito bem como utilizar essas regras, seria legal você dar uma olhada na aula de compensadores de avanço. Lá tem tudo explicadinho.
Compensadores de atraso
Para projetar os compensadores de atraso, nós devemos pensar principalmente no erro em regime permanente.
Quando a gente fazia o projeto para o caso analógico, a gente supunha o ganho do compensador como e usava o teorema do valor final para encontrar uma relação entre o zero e o polo:
Onde é o erro em regime permanente desejado e é a constante de erro.
Ao aplicar esse teorema encontramos uma relação entre o polo e o zero, por exemplo:
O próximo passo seria supor um valor bem pequeno para o zero, e calcular o valor do polo usando a relação encontrada acima.
Vamos pensar como podemos adaptar isso tudo para o mundo digital agora.
Primeiramente vamos lembrar da definição da variável :
Sendo assim:
Portanto, para usar o teorema do valor final no domínio , ao invés de fazermos a variável tendendo a , ela deverá tender a .
Portanto, para uma entrada rampa usaremos:
E, para uma entrada rampa:
Onde é a função de transferência do compensador e do processo:
Sendo assim, após aplicar esse teorema teremos algo do tipo:
Onde é uma constante qualquer.
Por exemplo, se temos um processo cuja função de transferência é:
E queremos um compensador que faça com que o erro em estado permanente seja , deveremos primeiramenrte encontrar o que gera esse erro:
Com poderemos encontrar a relação que queremos:
Isso vai nos dar:
E com isso conseguimos continuar o projeto do compensador de atraso normalmente.
Agora só precisamos arbitrar um valor qualquer para o zero e calcular o polo usando a relação que conseguimos através do teorema do valor final acima.
Quando estávamos fazendo o projeto analógico, nós usávamos um valor para o polo bem próximo de . Aqui, como fizemos a mudança para o sinal digital, nós vamos querer que o zero seja o mais próximo de possível. Geralmente é um bom palpite para o zero.
Após isso, basta calcular o ganho do compensador através da regra do módulo: