O controle cascata usa a correção de uma variável secundária que responde mais rapidamente à mudanças no processo para controlar a variável primária. Sendo assim, após a definição da variável primária controlada, é definida uma segunda variável chamada de secunária (ou servo) cuja função será garantir que a variável primária não saia do valor desejado.

A lógica é a seguinte: se a variável secundária sair do seu setpoint, ela irá se autocorrigir antes mesmo do erro se propagar para a variável primária, e, se a variável primária sair do seu setpoint, o controlador primário (que está atrelado à variável primária) mudará o setpoint do controlador secundário (que está atrelado à variável secundária) de modo que o novo setpoint da variável servo corrija o mais rapidamente possível a variável primária e a mesma possa voltar ao seu setpoint quase que instantaneamente.

Em outras palavras, a variável secundária vive para atender às necessidades da variável primária, e, como a variável secundária responde mais rapidamente (menor constante de tempo), as correções na variável primária acontecem mais rapidamente.

Primeiro vamos relembrar o que é o controle em cascata!

O controle cascata usa a correção de uma variável secundária que responde mais rapidamente à mudanças no processo para controlar a variável primária. E a nossa malha de controle tem essa cara aqui:

Agora vamos responder o que a questão pede!

Vantagens:

• Os distúrbio na variável secundária são corrigidos pela própria malha secundária antes mesmo de impactarem a variável primária.
• Os distúrbios na variável primária são corrigidos alterando-se o setpoint da variável secundária que tem resposta dinâmica mais rápida. Dessa forma, um sistema controlado por uma malha em cascata terá resposta significativamente mais rápida e eficiente.

Desvantagens:

• Só poderá ser implementado se for possível identificar no processo uma variável secundária que seja mais rápida que a variável primária.
• É uma estratégia mais complexa e também mais cara. Muitas vezes a sintonização pode ser bastante complicada de se fazer.

Resposta

Vantagens:

• Os distúrbio na variável secundária são corrigidos pela própria malha secundária antes mesmo de impactarem a variável primária.
• Os distúrbios na variável primária são corrigidos alterando-se o setpoint da variável secundária que tem resposta dinâmica mais rápida. Dessa forma, um sistema controlado por uma malha em cascata terá resposta significativamente mais rápida e eficiente.

Desvantagens:

• Só poderá ser implementado se for possível identificar no processo uma variável secundária que seja mais rápida que a variável primária.
• É uma estratégia mais complexa e também mais cara. Muitas vezes a sintonização pode ser bastante complicada de se fazer.

Se a gente reparar bem, a malha de controle em cascata pode ser interpretada como duas malhas feedback uma dentro da outra, então, para deduzir a função de transferência vamos nos aproveitar dessa característica.

Primeiramente, vamos olhar só para a malha de “dentro”, a malha secundária:

Todo o trecho destacado é uma malha feedback comum, e nós já vimos como se calcula a função de transferência dessa malha antes. Se você não lembra, é só lembrar da dica:

Essa e outras regras de álgebra do diagarama de blocos você pode revisar na nossa aula sobre o assunto aqui no Responde Aí!

Sendo assim, vamos reduzir todo o trecho destacado no diagarama acima em apenas um bloco, usando a regrinha aí de cima:

Agora que já reduzimos o primeiro loop, ficamos mais uma vez com um loop comum, e por isso, vamos usar a mesma regra que usamos ali em cima:

Portanto:

Multiplicando o numerador e o denominador po teremos:

Neste caso temos um tanque com uma alimentação e duas correntes de saída. Nesse sistema, temos apenas uma malha de controle que está em cascata, uma vez que temos dois controladores, um alimentando o outro.

Como pudemos ver temos dois controladores numa mesma malha em um configuração característica de uma malha cascata. Um desses controladores recebe a informação do nível do fluido do tanque, LC, e o outro, recebe a informação doa vazão em uma das saídas do tanque, FC.

Para saber qual é o primário e qual é o secundário, podemos utilizar aquela dica: o secundário é sempre o que manda o sinal para a válvula. Dessa forma, o controlador secundário é o FC, e a variável secundária é a vazão de saída do tanque. O controlado LC é o primário e o nível do tanque é a variável primária.

Vamos entender como acontece o controle então.

A variável primária é o nível do tanque, e por isso, ele não pode sair do seu setpoint. Se isso acontecer, o controlador LC perceberá isso e mandará um sinal alterando o setpoint da vazão de saída, que é a variável secundária, para o FC. O FC por sua vez garantirá que o novo setpoint que atenda à exigência do LC seja alcançado e irá manipular a válvula para que isso aconteça.

Primeiramente vamos entender o que acontce.

A figura mostra um reator bem alimentado que tem sua temperatura controlada por uma camisa térmica por onde passa um fluido refrigerante. Parte do fluido refrigerante, após sair da camisa, é reciclado e realimentada ao sistema.

Existem duas malhas de controle mostrados na figura. Um deles (o do lado direito) é um feedback convencional que tem como objetivo controlar o nível de fluido dentro do reator. O segundo (destacado abaixo), é relativo a um controle cascata.

Podemos afirmar que se trata de uma malha de controle cascata pelo fato de existirem dois controladores, um ligado ao outro, que controlam apenas uma válvula. Essa estrutura é característica de uma malha em cascata.

Vamos ver agora o que podemos afirmar a respeito da malha em cascata.

Como vimos ali em cima, temos dois controlodores. Um deles receve a informação da temperatura de dentro do tanque, o outro, recebe a informação da temperatura do fluido refrigerante que entra no reator e manipula a válvula que controla quanto do fluido é reciclado no processo.

Vamos determinar então qual desses controladores é o primário e qual é o secundário. Aqui vai uma dica: o controlador secundário é sempre aquele que manda o sinal para a válcula. Sendo assim, nesse sistema, o controlador secundário é o que recebe a informação da temperatura de entrada do fluido refrigerante (variável secundária). O controlador primário é o que recebe a informação da temperatura do tanque (variável primária) e envia um sinal para o controlador secundário.

Sendo assim, o controle acontece da seguinte forma:

O objetivo principal é garantir que a temperatura dentro do tanque (variável primária) não saia do seu valor especificado. Para isso, é feito um controle em cascata onde a temperatura do fluido refrigerante que entra no tanque é usada como variável secunária. Sendo assim, quando a temperatura dentro do tanque varia, o controlador primário muda o setpoint do controlador secundário de forma que a temperatura do fluido refrigerante que entra no reator possa compensar a variação de temperatura que aconteceu no tanque.

Essa torre de destilação apresenta quatro malhas de controle, mas apenas uma delas é cascata. Para saber qual é a malha cascata, devemos procurar por dois controladores na mesma malha. Se olharmos bem, a única malha com dois controladores na mesma malha é a que está destacada abaixo:

Todas as outras malhas que existem nesse sistema são do tipo feedback comum, com um controlador, uma variável controlada e uma vari[avel manipulada.

Vamos então olhar para malha destacada para tentar identificar as variáveis primária e secundária. O controlador FC recebe uma informação da vazão de fluido quente que entra no refervedor e envia um sinal para uma válvula que controla essa mesma vazão. O controlador AC, por sua vez, recebe a informação da composição da corrente de fundo da torre de destilação e manda um sinal para o controlar FC.

Qual deles é o controlador secundário?

O secundário sempre é aquele que manda o sinal para a válvula, portanto, o controlador FC é o controlador secundário e a vazão de fluido quente que entra no refervedor é a variável secundária.

Já o controlador AC é o controlador primário e a composição da corrente de fundo da torre de destilação é a variável secundária.

Sendo assim, o objetivo principal da malha é controlar a composição de saída da torre (variável primária). Para isso, quando alguma coisa acontece que faz com que essa especificação saia do valor desejado, o controlador AC manipula o setpoint da vazão que entra no refervedor (variável secundária) de modo que esse novo setpoint para a variável secundária possa corrigir mais rapidamente a variável primária

O exercício quer que a gente determine o limite de estabilidade do sistema, ou seja, ele quer que a gente diga queal o maior valor possível de para que o sistema continue estável. Ele já nos deu a dica de que ambos os controladores são do tipo proporcional, ou seja, a função se transferência dos controladores é do tipo:

Como já foi dado, precisamos apenas encontrar o valor máximo de .

Para conseguir encontrar esse limite, nós vamos precisar encontrar a função de transferência do sistema, porque com essa função dessa transferência conseguiremos tirar a equação característica da malha.

Então vamos tentar encontrar a função de transferência, mas vamos combinar que por enquanto não vamos trabalhar com números,porque isso vai facilitar a nossa vida.

Primeiramente então, vamos reduzir o loop interno em um só bloco:

Aplicando a regra do loop:

Ficamos então novamente com um loop simples, aí vamos aplicar novamente a regra do loop:

Essa regra do loop tá ensinada direitinho na aula de álgebra de diagrama de blocos. Se você tem dúvidas, ou não lembra como faz, seria bacana dar uma revisadinha nessa aula.

Rearranjando a expressão encontrada teremos a função de transferência da malha:

Agora que já temos a função de transferência, precisamos da equação característica. A equação característica nada mais é que o denominador da função de transferência da malha, ou seja:

Vamos agora finalmente substituir as expressões de funções de transferência dadas no enunciado do exercício:

Multiplicando os dois lados da expressão por :

Rearranjando:

Agora que já temos a equação carcterística, precisamos determinar o valor máxoma de Para isso, podemos usar o método da substituição direta ou o método de Routh-Hurwitz, o que você achar mais fácil.

Eu particularmente, prefiro o método da susbtituiçõa direta, então vou usar ele. Aplicando as substituições:

Podemos formar então um sistema com a parte real e a imaginária:

Resolvendo a parte imaginária:

Para encontrar o valor de basta substituir o valor de na expressão da parte real:

Logo o maior valor de ganho do controlador primário assumindo dois controladores proporcionais e que é 43,3

Aqui nós temos a medição de três variáveis: que é a nossa variável principal, que é uma variável intermediária no processo e que é uma variável de entrada, ou, um distúrbio.

Como temos três informações disponíveis, vamos tentar usar todas elas. O controle cascata por exemplo, precisa da medição da variável controlada e de uma variável intermediária. Sendo assim, podemos usar como sendo a variável primária de um controle cascata e como sendo a variável secundária.

Já o controle feedforward precisa da medição de um distúrbio, sendo assim, podemo aplicar um controle feedforward também, usando comoi distúrbio medido.

O esquema do sistema de controle ficaris assim:

Sendo assim, o controlador TC2 comanda o setpoint do controlador TC1 que manda o sinal para o elemento final de controla fazendo assim o controle cascata.

O FFC (feedforward controller) também emite um sinal para o elemento final de controle, sendo assim, ambos os sinais se somama antes de alterar o valor de .

Nessa malha temos duas estratégias em uso ao mesmo tempo. Temos o controle cascata que se utiliza das medições de e e também o controle feddforward que se utiliza de como variável distúrbio.

Fazendo a junção do cascada com o feedforward, teremos o seguinte diagrama de blocos:

Repare que o processo e transmissor com índice 1 estão na malha interna (secundária) e os com índice 2 estão na malha externa (primária). Isso acontece porque os índices estão seguindo os índices das variáveis. Como é a variável servo (secundária) o processo com índice 1 ficou na malha interna e como é a variável mestre (primária) os blocos com esse índice ficaram na malha externa. Apenas os plocos dos controladores mantiveram os índices normais. Sendo assim é o controlador secundário e o primário.