64 A Fig. P7.64 mostra um conjunto bomba de calor – motor térmico utilizado no aquecimento de uma casa. Admitindo que todos os processos presentes nas máquinas são ideais. Determine a razão entre a taxa de transferência de calor total para a casa e a taxa de transferência de calor para o motor térmico, que aciona a bomba, em função das temperaturas dos reservatórios térmicos.

Passo 1

Opaaa.. nessa questão vamos usar a equação pra bomba de calor:

β = Q ˙ H 2 W ˙ = Q ˙ H 2 Q ˙ H 2 - Q L 2 ˙ = T c a s a T c a s a - T a m b

E a equação da máquina térmica:

η = W ˙ Q ˙ H 1 = Q ˙ H 1 - Q ˙ L 1 Q ˙ H 1 = 1 - T c a s a T H

E o que a gente quer é achar (nesse bla bla bla todo):

Q ˙ H 2 + Q ˙ L 1 Q ˙ H 1 =   ?

A ideia aqui é a gente achar Q ˙ H 2 e Q ˙ L 1 em função das temperaturas e de Q ˙ H 1 . Depois a gente

Soma e passa o Q ˙ H 1 pro outro lado dividindo.

Passo 2

Bom... vamos começar as mágicas:

- usando, por enquanto, só as igualdades da segunda linha:

W ˙ = Q ˙ H 1 - Q ˙ L 1

Q ˙ L 1 = Q ˙ H 1 - W ˙

Mas que é W ˙ ?

W ˙ Q ˙ H 1 = 1 - T c a s a T H

Então:

W ˙ = 1 - T c a s a T H Q ˙ H 1

E substituindo:

Q ˙ L 1 = Q ˙ H 1 - W ˙

Q ˙ L 1 = Q ˙ H 1 - 1 - T c a s a T H Q ˙ H 1

Q ˙ L 1 = 1 - 1 + T c a s a T H Q ˙ H 1

Q ˙ L 1 = T c a s a T H Q ˙ H 1

Ufaaa... achamos o Q ˙ L 1 .

Passo 3

Agora vamos achar o Q ˙ H 2 .

Q ˙ H 2 W ˙ = T c a s a T c a s a - T a m b

Q ˙ H 2 = T c a s a T c a s a - T a m b W ˙

Usando o mesmo W ˙ do outro passo:

Q ˙ H 2 = T c a s a T c a s a - T a m b 1 - T c a s a T H Q ˙ H 1

Achamos o Q ˙ H 2 .

Passo 4

Agora a gente soma:

Q ˙ H 2 + Q ˙ L 1 = T c a s a T c a s a - T a m b 1 - T c a s a T H Q ˙ H 1 + T c a s a T H Q ˙ H 1

Q ˙ H 2 + Q ˙ L 1 = T c a s a T c a s a - T a m b 1 - T c a s a T H + T c a s a T H Q ˙ H 1

Passando o Q ˙ H 1 pro outro lado dividindo:

Q ˙ H 2 + Q ˙ L 1 Q ˙ H 1 = T c a s a T c a s a - T a m b 1 - T c a s a T H + T c a s a T H

Resposta

Q ˙ H 2 + Q ˙ L 1 Q ˙ H 1 = T c a s a T c a s a - T a m b 1 - T c a s a T H + T c a s a T H

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