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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 43

Deduza expressões para ((del u)/(del P))_T e ((del v)/(del T))_P envolvendo somente P , v e T .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, primeiramente, vamos relembrar a relação geral para a variação d u :

d u = c_v T + (T ((del P)/(del T))_v - P) d v ( 1 )

Diferenciando cada termo nesta equação em relação a P , com T = c t e , temos:

((del u)/(del P))_T = 0 + (T ((del P)/(del T))_v - P) ((del v)/(del P))_T -> ((del u)/(del P))_T = T ((del P)/(del T))_v ((del v)/(del P))_T - P ((del v)/(del P))_T ( 2 )

Lembrando que a relação cíclica, utilizando essas propriedades ( P , v e T ) , é descrita por:

((del P)/(del T))_v ((del T)/(del v))_P ((del v)/(del P))_T = - 1 -> ((del P)/(del T))_v ((del v)/(del P))_T = - ((del v)/(del T))_P ( 3 )

Substituindo a eq. 3 na eq. 2, temos:

((del u)/(del P))_T = - T ((del v)/(del T))_P - P ((del v)/(del P))_T

Passo 2

Agora, partindo do mesmo princípio para a obtenção da relação para a variação de energia interna, temos, para a relação de d h :

d h = c_P d T + (v - T ((del v)/(del T))_P) d P ( 4 )

Diferenciando cada termo nesta equação em relação a v , com T = c t e , temos:

((del h)/(del v))_T = 0 + (v - T ((del v)/(del T))_P) ((del P)/(del v))_T -> ((del h)/(del v))_T = v ((del P)/(del v))_T - T ((del v)/(del T))_P ((del P)/(del v))_T ( 5 )

Lembrando que a relação cíclica, utilizando essas propriedades ( P , v e T ) , é descrita por:

((del v)/(del T))_P ((del T)/(del P))_v ((del P)/(del v))_T = - 1 -> ((del v)/(del T))_P ((del P)/(del v))_T = - ((del T)/(del P))_v ( 6 )

Substituindo a eq. 6 na eq. 5, temos:

((del h)/(del v))_T = v ((del P)/(del v))_T + T ((del T)/(del P))_v

Resposta

Portanto:

((del u)/(del P))_T = - T ((del v)/(del T))_P - P ((del v)/(del P))_T

E

((del h)/(del v))_T = v ((del P)/(del v))_T + T ((del T)/(del P))_v

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