Mostre que c_p - c_v = T ((del P)/(del T))_v ((del v)/(del T))_P .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, começamos considerando que a entropia é uma função de volume e temperatura específicos. O diferencial de entropia é então:

d s = ((del s)/(del T))_v d T + ((del s)/(del v))_T d v ( 1 )

Substituindo ((del s)/(del T))_v por (c_v)/(T) , da terceira relação de Maxwell, temos que a eq.1 fica:

d s = (c_v)/(T) d T + ((del P)/(del T))_v d v

Obs: As relações de Maxwell podem ser encontradas na página 667 do livro do Çengel “Termodinâmica 7ª Ed.”

Então, tomando a entropia como uma função de pressão e temperatura, temos:

d s = ((del s)/(del T))_P d T + ((del s)/(del P))_T d P ( 2 )

Contudo, combinando este resultado com a quarta relação de Maxwell, têm-se:

d s = (c_p)/(T) d T - ((del v)/(del T))_v d v ( 3 )

Igualando as duas expressões anteriores (equações 3 e 4) e resolvendo o resultado para a diferença de calor específica:

(c_p - c_v) d T = T ((del v)/(del T))_P d P + ((del P)/(del T))_v d v ( 4 )

E tomando a pressão como uma função da temperatura e volume, temos:

d P = T ((del P)/(del T))_v d T + ((del P)/(del v))_T d v ( 5 )

Assim, substituindo a expressão 5 na equação 4, resulta em:

(c_p - c_v) d T = T ((del v)/(del T))_P ((del P)/(del T))_v d T + T [((del v)/(del T))_P ((del P)/(del v))_T ((del P)/(del T))_v] d v

Porém, de acordo com a relação cíclica, o segundo termo da equação acima é zero. Portanto:

(c_p - c_v) d T = T ((del v)/(del T))_P ((del P)/(del T))_v d T + 0

Resposta

Portanto, cancelando o termo d T em comum, a expressão fica:

(c_p - c_v) = T ((del v)/(del T))_P ((del P)/(del T))_v

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