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Enunciado

Termodinâmica - Termodinamica,Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística, Sears e Salinger- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 21

(a) mostre que o coeficiente de dilatação volumétrica de um gás de Van der Waals é

β = R v 2 ( v - b ) R T v 3 - 2 a v - b 2

(b) qual é a expressão de β , se a = b = 0   (gás ideal)?

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de termodinâmica de Sears e Salinger temos que determinar:

(a) mostre que o coeficiente de dilatação volumétrica de um gás de Van der Waals é

β = R v 2 ( v - b ) R T v 3 - 2 a v - b 2

(b) qual é a expressão de β , se a = b = 0   (gás ideal)?

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha, para determinarmos os itens pedidos temos que ter como entendimento a dilatação volumétrica de Van der Waals em que,

∂ p ∂ v T = 0       e     ∂ 2 p ∂ v 2 T = 0

Ficando na letra (a) para demonstrar que o coeficiente de dilatação vale,

β = R v 2 ( v - b ) R T v 3 - 2 a v - b 2

Temos,

∂ p ∂ v T = 2 R v ( 1 - b ) 3 R T v 2 - 4 a ( v - b )

Com as derivadas parciais de p valendo,

p = R T v - b - a v 2

Podendo definir que,

∂ p ∂ v T = R T v - b 2 + 2 a v 3

Que derivando vai ser representada como,

∂ 2 p ∂ v 2 T = 2 R T v - b 3 - 6 a v 4

Logo,

∂ 2 p ∂ v 2 = 2 R T v - b 3 - 6 a v 4     ( x   v )

Ficando,

∂ 2 p ∂ v 2 = β = R v 2 ( v - b ) R T v 3 - 2 a v - b 2

Passo 3

Já na letra (b) para representar o valor de β dado a = b = 0 , temos

β = R v 2 ( v - b ) R T v 3 - 2 a v - b 2

Que efetuando a substituição dos fatores a   e   b fica,

β = R v 2 ( v - 0 ) R T v 3 - 2   x   0 v - 0 2

Que vai chegar em,

β = R v 3 R T v 3 = R R T

Logo,

β = R R T

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) ∂ 2 p ∂ v 2 = β = R v 2 ( v - b ) R T v 3 - 2 a v - b 2

b) β = R R T

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