Entalpia, Energia Interna e Calores Específicos de Gases Perfeitos

Produzido por Philip Canabarro Blocker
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Teoria

Como calcular a variação de energia E 2 - E 1 de gases perfeitos?

A fórmula abaixo é conhecida como a primeira lei da termodinâmica para processos de sistemas fechados. Ela é muito importante para vários exercícios de termodinâmica, porque ela mostra que a variação de energia do sistema E 2 - E 1 é igual à energia trocada por trabalho W e calor Q .

Q - W = E 2 - E 1

Ou seja, se nós sabemos quanto vale Q e W , conseguimos calcular a variação de energia do sistema E 2 - E 1 pela fórmula acima. Se conhecemos Q e E 2 - E 1 , somos capazes de calcular W . Por fim, se o enunciado nos dá os valores de W e E 2 - E 1 , podemos calcular Q .

O problema é que nem sempre o enunciado informa diretamente quanto vale a variação de energia do sistema E 2 - E 1 . As vezes ele nos dá E 2 - E 1 de uma forma indireta. Por exemplo, ele pode nos dar a variação de altitude do sistema Z 2 - Z 1 ou as velocidades ν 2 e ν 1 . Aí vamos precisar calcular E 2 - E 1 pela fórmula abaixo.

E 2 - E 1 = m ⋅ ν 2 2 - ν 1 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 2 - Z 1 + m ⋅ u 2 - u 1

Se soubermos apenas quanto vale Z 2 - Z 1 , ν 2 e ν 1 , faltará saber quanto vale a variação de energia interna específica do sistema u 2 - u 1 ! Normalmente, achamos u 2 - u 1 através das tabelas termodinâmicas! Mas e se o sistema for formado por um gás perfeito? Como podemos conhecer u 2 - u 1 , se não existem tabelas termodinâmicas de gases perfeitos?

Nós podemos descobrir u 2 - u 1 através de informações sobre os calores específicos c P e c v do gás!

Calores específicos de gás perfeito c P 0 ,   c v 0

Para falar sobre os calores específicos, precisamos lembrar da fórmula de calor específico para uma substância simples compressível!

O calor específico a volume constante c v foi definido como a derivada parcial da energia interna específica, mantendo o volume específico v constante.

c v = ∂ u ∂ T v

Já o calor específico a pressão constante c P foi definido como a derivada parcial da entalpia específica, mantendo a pressão P constante.

c P = ∂ h ∂ T P

Note que essas duas fórmulas de substâncias simples compressíveis têm derivadas parciais! Isso acontece, porque a energia interna específica u e a entalpia específica h dependem de três variáveis: a temperatura T , a pressão P e o volume específico v . Ou seja, se o valor de uma dessas três variáveis mudar, o valor de u e h mudam.

Para gases perfeitos, a energia interna específica u e a entalpia específica h só variam com a temperatura! Isso quer dizer que, se os valores de P e v mudarem, os valores de u e h permanecem constantes! Como u e h de gases perfeitos dependem de apenas uma variável, suas derivadas são ordinárias!

c v = ∂ u ∂ T v ⏟ s u b s t â n c i a   s i m p l e s   c o m p r e s s í v e l       ⟹       c v 0 = d u d T ⏟ g á s   p e r f e i t o

c P = ∂ h ∂ T P ⏟ s u b s t â n c i a   s i m p l e s   c o m p r e s s í v e l       ⟹       c P 0 = d h d T ⏟ g á s   p e r f e i t o

onde:

  • c v 0 é o calor específico a volume constante do gás perfeito. Sua unidade no Sistema Internacional (S.I.) é o joule por quilograma-kelvin J / k g ⋅ K ;
  • c P 0 é o calor específico a pressão constante do gás perfeito. Sua unidade no Sistema Internacional (S.I.) é o joule por quilograma-kelvin J / k g ⋅ K .

Isso simplifica as equações dos calores específicos! Agora sabemos que os calores específicos de gases perfeitos só dependem da temperatura T do gás. Mas de que forma podemos usar essa simplificação da derivada para calcular u 2 - u 1 de gases perfeitos?

Veremos isso agora!

Como calcular u 2 - u 1 a partir dos calores específicos ( c P 0 e c v 0 )?

Para calcular o que queremos, precisamos reorganizar as equações de c v 0 e c P 0 .

c v 0 = d u d T           ⟹           d u = c v 0   d T

c P 0 = d h d T           ⟹           d h = c P 0   d T

Se a gente integrar essas duas equações do estado 1 (antes do sistema passar pelo processo) até o estado 2 (depois do sistema passar pelo processo), chegamos nas seguintes equações:

∫ 1 2 d u = ∫ 1 2 c v 0   d T       ⟹       u 2 - u 1 = ∫ 1 2 c v 0   d T

∫ 1 2 d h = ∫ 1 2 c P 0   d T       ⟹       h 2 - h 1 = ∫ 1 2 c P 0   d T

Mas como podemos resolver essas integrais se ainda não tivemos nenhuma informação de como os calores específicos c v 0 e c P 0 variam com a temperatura T ?

Existem três formas de resolver essa integral! A escolha de qual forma devemos usar depende de qual aproximação vamos aplicar na questão e de qual informação temos a disposição!

  1. Se o exercício disser que os calores específicos são constantes, as integrais viram:
  2. u 2 - u 1 = c v 0 T 2 - T 1

    h 2 - h 1 = c P 0 T 2 - T 1

  3. Podemos encontrar os valores de c v 0 e c P 0 em uma tabela com valores de calor específico para gases perfeitos a temperatura ambiente. Mas essa solução é a aproximação menos precisa.
  4. Caso a gente tenha a disposição uma equação para c P 0 ou c v 0 em função da temperatura, podemos integrar normalmente. Essa é uma solução mais precisa!
  5. A terceira forma evita o cálculo da integral. Alguns exercícios nos dão diretamente tabelas com os valores de entalpia específica h para diversas temperaturas T . Essa é a solução mais precisa de todas!

A explicação mais detalhada de como devemos usar as tabelas será feita a seguir!

Como calcular u 2 - u 1 , considerando os calores específicos ( c P 0 e c v 0 ) constantes?

Caso o enunciado do problema diga que os calores específicos são constantes, você provavelmente vai ter acesso a uma tabela parecida com a mostrada abaixo.

Para descobrir quanto vale u 2 - u 1 , temos que substituir o valor de c v 0 da tabela nas fórmulas mostradas na primeira forma de resolver a integral.

Mas, tenha atenção! Nem sempre o enunciado vai te falar diretamente que é para considerar os calores específicos como constantes! As vezes você terá que lembrar do gráfico abaixo!

Esse gráfico mostra que o calor específico de gases com apenas um átomo nas suas moléculas é praticamente constante! Chamamos esses gases de gases monoatômicos. Alguns exemplos de gases monoatômicos são:

Ou seja, quando o enunciado faz questão de te informar que o gás do exercício é monoatômico, ele está querendo te dizer, de um jeito indireto, que seus calores específicos são constantes!

Razão de calores específicos k

Na tabela de calores específicos acima vemos que existe uma variável k . Qual é o significado dela?

O k da tabela é uma propriedade termodinâmica chamada de razão de calores específicos. Atenção! Não é só o gás perfeito que possui essa propriedade! Todas as substâncias possuem esses dois calores específicos! Logo, todas elas possuem essa propriedade k . Ela tem esse nome, porque ela é o c P dividido pelo c v .

Como calcular u 2 - u 1 , quando temos equações para c P 0 e c v 0 ?

Geralmente, as tabelas com as equações de calor específico nos dão apenas uma equação de c P 0 . Ou seja, com essa informação conseguimos somente calcular h 2 - h 1 ! A fórmula de c P 0 é, na maioria das vezes, um polinômio como o mostrado abaixo.

c P 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

onde:

  • c P 0 é o calor específico do gás perfeito em quilojoule por quilograma-kelvin k J / k g ⋅ K ;
  • C 0 , C 1 , C 2 e C 3 são as constantes do polinômio;
  • θ é a temperatura em kelvin dividida por mil.

θ = T 1000

O valor das constantes aparecem em tabelas parecidas com a tabela abaixo.

E como podemos calcular u 2 - u 1 se a tabela só possui uma fórmula para c P 0 ?

Fazemos isso, calculando c v 0 através de c P 0 !

Calculando c v 0 em função de c P 0

Para criar uma equação de c P 0 em função de c v 0 , precisamos usar uma formulazinha muito tranquila que relaciona o calor específico a volume constante do gás perfeito c v 0 com o calor específico a pressão constante do gás perfeito c P 0 .

c v 0 = c P 0 - R

Agora é só substituir a equação de c P 0 na expressão abaixo para encontrar uma fórmula de c v 0 que possa ser integrada para achar u 2 - u 1 !

c v 0 = c P 0 - R

c v 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3 - R

Vamos ver a terceira e última forma de calcular u 2 - u 1 ? Bora!

Como calcular u 2 - u 1 com tabelas de entalpia específica h ?

As tabelas de entalpia específica são muito parecidas com a tabela abaixo para oxigênio O 2 .

O s T 0 presente na tabela é uma variável que não nos interessa agora! Vamos focar só em h !

Como podemos usar as informações dessa tabela para resolver exercícios de primeira lei, se a tabela só nos dá valores de h e a equação de primeira lei só quer valores de u ?

Reorganizando a fórmula de entalpia específica para gases perfeitos!

h = u + R T

u = h - R T

Agora é só substituir o valor de h da tabela na equação acima para achar u !

Como calcular u 2 - u 1 a partir dos calores específicos ( c P 0 e c v 0 )?

Como calcular u 2 - u 1 , considerando os calores específicos ( c P 0 e c v 0 ) constantes?

Razão de calores específicos k

Como calcular u 2 - u 1 , quando temos equações para c P 0 e c v 0 ?

Calculando c v 0 em função de c P 0

Como calcular u 2 - u 1 com tabelas de entalpia específica h ?

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