Entalpia, Energia Interna e Calores Específicos de Gases Perfeitos

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Teoria

Como calcular a variação de energia E 2 - E 1 de gases perfeitos?

A fórmula abaixo é conhecida como a primeira lei da termodinâmica para processos de sistemas fechados. Ela é muito importante para vários exercícios de termodinâmica, porque ela mostra que a variação de energia do sistema E 2 - E 1 é igual à energia trocada por trabalho W e calor Q .

Q - W = E 2 - E 1

Ou seja, se nós sabemos quanto vale Q e W , conseguimos calcular a variação de energia do sistema E 2 - E 1 pela fórmula acima. Se conhecemos Q e E 2 - E 1 , somos capazes de calcular W . Por fim, se o enunciado nos dá os valores de W e E 2 - E 1 , podemos calcular Q .

O problema é que nem sempre o enunciado informa diretamente quanto vale a variação de energia do sistema E 2 - E 1 . As vezes ele nos dá E 2 - E 1 de uma forma indireta. Por exemplo, ele pode nos dar a variação de altitude do sistema Z 2 - Z 1 ou as velocidades ν 2 e ν 1 . Aí vamos precisar calcular E 2 - E 1 pela fórmula abaixo.

E 2 - E 1 = m ⋅ ν 2 2 - ν 1 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 2 - Z 1 + m ⋅ u 2 - u 1

Se soubermos apenas quanto vale Z 2 - Z 1 , ν 2 e ν 1 , faltará saber quanto vale a variação de energia interna específica do sistema u 2 - u 1 ! Normalmente, achamos u 2 - u 1 através das tabelas termodinâmicas! Mas e se o sistema for formado por um gás perfeito? Como podemos conhecer u 2 - u 1 , se não existem tabelas termodinâmicas de gases perfeitos?

Nós podemos descobrir u 2 - u 1 através de informações sobre os calores específicos c P e c v do gás!

Calores específicos de gás perfeito c P 0 ,   c v 0

Para falar sobre os calores específicos, precisamos lembrar da fórmula de calor específico para uma substância simples compressível!

O calor específico a volume constante c v foi definido como a derivada parcial da energia interna específica, mantendo o volume específico v constante.

c v = ∂ u ∂ T v

Já o calor específico a pressão constante c P foi definido como a derivada parcial da entalpia específica, mantendo a pressão P constante.

c P = ∂ h ∂ T P

Note que essas duas fórmulas de substâncias simples compressíveis têm derivadas parciais! Isso acontece, porque a energia interna específica u e a entalpia específica h dependem de três variáveis: a temperatura T , a pressão P e o volume específico v . Ou seja, se o valor de uma dessas três variáveis mudar, o valor de u e h mudam.

Para gases perfeitos, a energia interna específica u e a entalpia específica h só variam com a temperatura! Isso quer dizer que, se os valores de P e v mudarem, os valores de u e h permanecem constantes! Como u e h de gases perfeitos dependem de apenas uma variável, suas derivadas são ordinárias!

c v = ∂ u ∂ T v ⏟ s u b s t â n c i a   s i m p l e s   c o m p r e s s í v e l       ⟹       c v 0 = d u d T ⏟ g á s   p e r f e i t o

c P = ∂ h ∂ T P ⏟ s u b s t â n c i a   s i m p l e s   c o m p r e s s í v e l       ⟹       c P 0 = d h d T ⏟ g á s   p e r f e i t o

onde:

  • c v 0 é o calor específico a volume constante do gás perfeito. Sua unidade no Sistema Internacional (S.I.) é o joule por quilograma-kelvin J / k g ⋅ K ;
  • c P 0 é o calor específico a pressão constante do gás perfeito. Sua unidade no Sistema Internacional (S.I.) é o joule por quilograma-kelvin J / k g ⋅ K .

Isso simplifica as equações dos calores específicos! Agora sabemos que os calores específicos de gases perfeitos só dependem da temperatura T do gás. Mas de que forma podemos usar essa simplificação da derivada para calcular u 2 - u 1 de gases perfeitos?

Veremos isso agora!

Como calcular u 2 - u 1 a partir dos calores específicos ( c P 0 e c v 0 )?

Para calcular o que queremos, precisamos reorganizar as equações de c v 0 e c P 0 .

c v 0 = d u d T           ⟹           d u = c v 0   d T

c P 0 = d h d T           ⟹           d h = c P 0   d T

Se a gente integrar essas duas equações do estado 1 (antes do sistema passar pelo processo) até o estado 2 (depois do sistema passar pelo processo), chegamos nas seguintes equações:

∫ 1 2 d u = ∫ 1 2 c v 0   d T       ⟹       u 2 - u 1 = ∫ 1 2 c v 0   d T

∫ 1 2 d h = ∫ 1 2 c P 0   d T       ⟹       h 2 - h 1 = ∫ 1 2 c P 0   d T

Mas como podemos resolver essas integrais se ainda não tivemos nenhuma informação de como os calores específicos c v 0 e c P 0 variam com a temperatura T ?

Existem três formas de resolver essa integral! A escolha de qual forma devemos usar depende de qual aproximação vamos aplicar na questão e de qual informação temos a disposição!

  1. Se o exercício disser que os calores específicos são constantes, as integrais viram:
  2. u 2 - u 1 = c v 0 T 2 - T 1

    h 2 - h 1 = c P 0 T 2 - T 1

  3. Podemos encontrar os valores de c v 0 e c P 0 em uma tabela com valores de calor específico para gases perfeitos a temperatura ambiente. Mas essa solução é a aproximação menos precisa.
  4. Caso a gente tenha a disposição uma equação para c P 0 ou c v 0 em função da temperatura, podemos integrar normalmente. Essa é uma solução mais precisa!
  5. A terceira forma evita o cálculo da integral. Alguns exercícios nos dão diretamente tabelas com os valores de entalpia específica h para diversas temperaturas T . Essa é a solução mais precisa de todas!

A explicação mais detalhada de como devemos usar as tabelas será feita a seguir!

Como calcular u 2 - u 1 , considerando os calores específicos ( c P 0 e c v 0 ) constantes?

Caso o enunciado do problema diga que os calores específicos são constantes, você provavelmente vai ter acesso a uma tabela parecida com a mostrada abaixo.

Para descobrir quanto vale u 2 - u 1 , temos que substituir o valor de c v 0 da tabela nas fórmulas mostradas na primeira forma de resolver a integral.

Mas, tenha atenção! Nem sempre o enunciado vai te falar diretamente que é para considerar os calores específicos como constantes! As vezes você terá que lembrar do gráfico abaixo!

Esse gráfico mostra que o calor específico de gases com apenas um átomo nas suas moléculas é praticamente constante! Chamamos esses gases de gases monoatômicos. Alguns exemplos de gases monoatômicos são:

Ou seja, quando o enunciado faz questão de te informar que o gás do exercício é monoatômico, ele está querendo te dizer, de um jeito indireto, que seus calores específicos são constantes!

Razão de calores específicos k

Na tabela de calores específicos acima vemos que existe uma variável k . Qual é o significado dela?

O k da tabela é uma propriedade termodinâmica chamada de razão de calores específicos. Atenção! Não é só o gás perfeito que possui essa propriedade! Todas as substâncias possuem esses dois calores específicos! Logo, todas elas possuem essa propriedade k . Ela tem esse nome, porque ela é o c P dividido pelo c v .

Como calcular u 2 - u 1 , quando temos equações para c P 0 e c v 0 ?

Geralmente, as tabelas com as equações de calor específico nos dão apenas uma equação de c P 0 . Ou seja, com essa informação conseguimos somente calcular h 2 - h 1 ! A fórmula de c P 0 é, na maioria das vezes, um polinômio como o mostrado abaixo.

c P 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

onde:

  • c P 0 é o calor específico do gás perfeito em quilojoule por quilograma-kelvin k J / k g ⋅ K ;
  • C 0 , C 1 , C 2 e C 3 são as constantes do polinômio;
  • θ é a temperatura em kelvin dividida por mil.

θ = T 1000

O valor das constantes aparecem em tabelas parecidas com a tabela abaixo.

E como podemos calcular u 2 - u 1 se a tabela só possui uma fórmula para c P 0 ?

Fazemos isso, calculando c v 0 através de c P 0 !

Calculando c v 0 em função de c P 0

Para criar uma equação de c P 0 em função de c v 0 , precisamos usar uma formulazinha muito tranquila que relaciona o calor específico a volume constante do gás perfeito c v 0 com o calor específico a pressão constante do gás perfeito c P 0 .

c v 0 = c P 0 - R

Agora é só substituir a equação de c P 0 na expressão abaixo para encontrar uma fórmula de c v 0 que possa ser integrada para achar u 2 - u 1 !

c v 0 = c P 0 - R

c v 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3 - R

Vamos ver a terceira e última forma de calcular u 2 - u 1 ? Bora!

Como calcular u 2 - u 1 com tabelas de entalpia específica h ?

As tabelas de entalpia específica são muito parecidas com a tabela abaixo para oxigênio O 2 .

O s T 0 presente na tabela é uma variável que não nos interessa agora! Vamos focar só em h !

Como podemos usar as informações dessa tabela para resolver exercícios de primeira lei, se a tabela só nos dá valores de h e a equação de primeira lei só quer valores de u ?

Reorganizando a fórmula de entalpia específica para gases perfeitos!

h = u + R T

u = h - R T

Agora é só substituir o valor de h da tabela na equação acima para achar u !

Como calcular u 2 - u 1 a partir dos calores específicos ( c P 0 e c v 0 )?

Como calcular u 2 - u 1 , considerando os calores específicos ( c P 0 e c v 0 ) constantes?

Razão de calores específicos k

Como calcular u 2 - u 1 , quando temos equações para c P 0 e c v 0 ?

Calculando c v 0 em função de c P 0

Como calcular u 2 - u 1 com tabelas de entalpia específica h ?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um cilindro-pistão isolado termicamente contendo 1   k g de ar sofre um trabalho de compressão de 10   k J . Considerando o calor específico do ar constante, calcule a variação da temperatura do ar com esse processo. Utilize a tabela abaixo.

Passo 1

Tudo joinha, pessoas? Vamos direto ao ponto e descobrir como usar o calor específico de um gás perfeito pra calcular a variação de temperatura do gás?

Esse exercício quer saber quanto vale a variação de temperatura do ar Δ T , quando ele é comprimido! A figura abaixo mostra os dados que temos pra calcular Δ T .

u 1 é a energia interna do ar antes de ser comprimido e u 2 é a energia interna do ar depois de ser comprimido. W é o trabalho de compressão. Ele é negativo, porque o ar está recebendo energia com a compressão. Q é o calor trocado entre o ar e o ambiente. Q vale zero, porque o conjunto cilindro pistão é isolado termicamente. Aplicando a primeira lei no ar, encontramos:

Q - W = m u 2 - u 1

Usando essa equação, somos capazes de achar a variação de energia interna u 2 - u 1 . Conhecer quanto vale u 2 - u 1 é fundamental pra achar Δ T . A equação de gases ideais abaixo mostra a relação entre u 2 - u 1 e Δ T pra gases com calor específico constante.

u 2 - u 1 = c v 0 Δ T

Δ T = u 2 - u 1 c v 0

onde c v 0 é o calor específico a volume constante do ar que vale 0,7165   k J / k g K .

Com todas essas informações em mãos, estamos aptos a achar Δ T no próximo passo.

Passo 2

O primeiro passo pra achar Δ T é achar u 2 - u 1 , reorganizando a primeira lei da termodinâmica.

Q - W = m u 2 - u 1

u 2 - u 1 = Q - W m

u 2 - u 1 = 0 - - 10 1

u 2 - u 1 = 10   k J k g

Substituindo o valor de u 2 - u 1 , na fórmula de Δ T :

Δ T = u 2 - u 1 c v 0

Δ T = 10 0,7165

Δ T = 14,0   K

Que ótimo! Já achamos o resultado que o enunciado pediu!

Resposta

Δ T = 14,0   K

Exercício Resolvido #2

Um tanque rígido contendo 5   k g de dióxido de carbono C O 2 recebe 200   k J de calor. Utilizando um polinômio para calcular o calor específico do C O 2 determine a variação da temperatura do C O 2 com esse processo. Suponha que o calor específico do C O 2 é constante e é igual ao calor específico avaliado na temperatura de 600   K . Utilize as tabelas abaixo.

Passo 1

Tudo tranquilo, gente? Vamos direto ao ponto e descobrir como usar o calor específico de um gás perfeito pra calcular a variação de temperatura do gás?

Esse exercício quer saber quanto vale a variação de temperatura do C O 2 Δ T , quando ele recebe 200   k J de calor! A figura abaixo mostra os dados que temos pra calcular Δ T .

u 1 é a energia interna do C O 2 antes de ser aquecido e u 2 é a energia interna do C O 2 depois de ser aquecido. Q é o calor trocado entre o ar e o ambiente.

O primeiro passo pra achar Δ T , é aplicar a primeira lei no tanque rígido.

Q - W = m u 2 - u 1

Para usar essa equação, precisamos lembrar que o trabalho W vale zero, porque o tanque não permite a variação de volume do gás.

W = 0   k J

Usando a primeira lei, somos capazes de achar a variação de energia interna u 2 - u 1 . Conhecer quanto vale u 2 - u 1 é fundamental pra achar Δ T . A equação de gases ideais abaixo mostra a relação entre u 2 - u 1 e Δ T pra gases com calor específico constante.

u 2 - u 1 = c v 0 Δ T

Δ T = u 2 - u 1 c v 0

onde c v 0 é o calor específico a volume constante do C O 2 que será encontrada a partir da equação presente em uma tabela.

Com todas essas informações em mãos, estamos aptos a achar u 2 - u 1 no próximo passo.

Passo 2

A primeira etapa passo pra calcular Δ T é achar u 2 - u 1 , reorganizando a primeira lei da termodinâmica.

Q - W = m u 2 - u 1

u 2 - u 1 = Q - W m

u 2 - u 1 = 200 - 0 5

u 2 - u 1 = 40   k J k g

Agora só falta achar c v 0 pra calcular Δ T .

Passo 3

Para achar o valor de c v 0 , temos que usar a equação de c p 0 fornecida por uma tabela. Essa fórmula nos dá os valores de c p 0 para qualquer valor da temperatura do gás. O enunciado pede para a gente usar o calor específico da temperatura de 600   K .

Para achar c v 0 a partir do c p 0 da tabela, usamos a equação de gases perfeitos abaixo.

c v 0 = c p 0 - R

onde R é a constante de gás do C O 2 que vale 0,18892 k J k g K .

c p 0 é calculado através da equação abaixo.

c p 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

onde θ é a temperatura que usamos pra calcular c p 0 dividida por 1000 . Logo, θ é:

θ = 600 1000

θ = 0,6

Os coeficientes C 0 , C 1 , C 2 e C 3 estão presentes na tabela abaixo.

C 0 = 0,45

C 1 = 1,67

C 2 = - 1,27

C 3 = 0,39

Substituindo esses valores na equação de c p 0 :

c p 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

c p 0 = 0,45 + 1,67 × 0,6 - 1,27 × 0,6 2 + 0,39 × 0,6 3

c p 0 = 1,07904   k J k g K

Usando a equação que calcula c v 0 a partir de c p 0 :

c v 0 = c p 0 - R

c v 0 = 1,07904 - 0,18892

c v 0 = 0,89012   k J k g K

Agora estamos aptos a achar c v 0 !

Passo 4

Substituindo os valores de u 2 - u 1 e c v 0 , na fórmula de Δ T :

Δ T = u 2 - u 1 c v 0

Δ T = 40 0,89012

Δ T = 44,9   K

Que ótimo! Já achamos o resultado que o enunciado pediu!

Resposta

Δ T = 44,9   K

Exercício Resolvido #3

Determine a variação de energia interna específica para o C O 2 quando este é aquecido de 600   K a 1200   K utilizando:

  1. o valor de c v 0 da Tab. A.5
  2. o valor de c v 0 avaliado com a equação presente na Tab. A.6 e na temperatura média do intervalo.
  3. Os valores de u apresentados na Tab. A.8

Passo 1

Fala, galera! Vamos fazer esse exercício para entender como se usa o calor específico a volume constante c v 0 no cálculo da variação de energia interna específica Δ u ?

O exercício quer que a gente calcule a variação de energia interna Δ u , quando o C O 2 aumenta sua temperatura de T 1 = 600   K até T 2 = 1200   K ! Pra achar Δ u de um gás perfeito através de c v 0 , usamos sempre a integral abaixo.

Δ u = ∫ T 1 T 2 c v 0   d T

A questão quer que a gente ache o valor de Δ u , usando dois valores de c v 0 diferentes obtidos nas duas tabelas (Tab. A.5 e Tab. A.6) e usando os valores de entalpia h da Tab. A.8.

Primeiro, a questão quer que a gente ache Δ u , considerando o valor de c v 0 constante e igual ao valor presente na tabela A.5. Sabendo disso, já podemos achar Δ u no próximo passo!

Passo 2

O primeiro jeito de encontrar o valor de Δ u é achar o valor de c v 0 na tabela abaixo e substituir esse valor na integral do passo 1.

Através dessa tabela, vemos que o calor específico a volume constante c v 0 do C O 2 vale:

c v 0 = 0,6529   k J k g K

Substituindo esse valor na integral ela vira:

Δ u = ∫ T 1 T 2 c v 0   d T

Δ u = ∫ T 1 T 2 0,6529   d T

Colocando a constante 0,6529 pra fora da integral e integrando d T , achamos:

Δ u = 0,6529 × T 2 - T 1

Δ u = 0,6529 × 1200 - 600

Δ u = 391,74   k J k g

Aeeee! A letra (a) da questão já foi resolvida. Agora vamos encontrar Δ u da segunda forma!

Passo 3

Para encontrar Δ u da segunda forma, temos que achar o valor de c v 0 através da equação de c p 0 fornecida pela tabela A.6. Essa fórmula nos dá os valores de c p 0 para qualquer valor da temperatura do gás. Como o valor da temperatura de C O 2 varia de 600   K a 1200   K , o enunciado pede para a gente usar o calor específico da temperatura média T m é d na integral.

T m é d = 600 + 1200 2 = 900   K

Para achar c v 0 a partir do c p 0 da tabela, usamos a equação de gases perfeitos abaixo.

c v 0 = c p 0 - R

onde R é a constante de gás do C O 2 e é encontrada na tabela anterior. Ela vale 0,18892 k J k g K .

c p 0 é calculado através da equação abaixo.

c p 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

onde θ é a temperatura que usamos pra calcular c p 0 dividida por 1000 . Logo, θ é:

θ = T m é d 1000

θ = 900 1000 = 0,9

No próximo passo acharemos C 0 , C 1 , C 2 e C 3 através da tabela A.6, para achar Δ u da segunda forma.

Passo 4

Os coeficientes C 0 , C 1 , C 2 e C 3 estão presentes na tabela abaixo.

C 0 = 0,45

C 1 = 1,67

C 2 = - 1,27

C 3 = 0,39

Substituindo esses valores na equação de c p 0 :

c p 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

c p 0 = 0,45 + 1,67 × 0,9 - 1,27 × 0,9 2 + 0,39 × 0,9 3

c p 0 = 1,20861   k J k g K

Usando a equação que calcula c v 0 a partir de c p 0 :

c v 0 = c p 0 - R

c v 0 = 1,20861 - 0,18892

c v 0 = 1,01969   k J k g K

Para encontrar Δ u , substituímos esse valor de c v 0 na integral do passo 1, colocamos a constante pra fora e integramos d T .

Δ u = ∫ T 1 T 2 c v 0   d T

Δ u = ∫ T 1 T 2 1,01969   d T

Δ u = 1,01969 × T 2 - T 1

Δ u = 1,01969 × 1200 - 600

Δ u = 611,814   k J k g

Resolvemos a letra (b)! Então vamos tentar resolver a letra (c), calculando Δ u da terceira forma!

Passo 5

Pra calcular a variação de energia interna Δ u da terceira forma, temos que encontrar o valor da energia interna u 1 que o C O 2 tinha e o valor de energia interna u 2 que o C O 2 passou a ter depois de aumentar sua temperatura.

Δ u = u 2 - u 1

Pra encontrar u 2 e u 1 , usamos os valores da entalpia h 1 que o C O 2 tinha quando sua temperatura T 1 media 600   K e da entalpia h 2 que o C O 2 passou a ter quando sua temperatura T 2 passou a medir 1200   K . h 1 e h 2 estão presentes na tabela abaixo.

h 1 = 506,07   k J k g

h 2 = 1223,34   k J k g

Pra encontrar u 1 e u 2 a partir de h 1 e h 2 , usamos as fórmulas que servem apenas para gases perfeitos encontradas abaixo:

u 1 = h 1 - R T 1

u 2 = h 2 - R T 2

Substituindo os dados que temos:

u 1 = 506,07 - 0,18892 × 600 = 392,718   k J k g K

u 2 = 1223,34 - 0,18892 × 1200 = 996,636   k J k g K

Com u 1 e u 2 somos, enfim, capazes de achar Δ u :

Δ u = u 2 - u 1

Δ u = 996,636 - 392,718

Δ u = 603,918   k J k g

Com a resposta da letra (c) encerramos esse exercício! Ele te ajudou a fixar o conteúdo da teoria? Responde aí!

Resposta

a   Δ u = 391,74   k J k g

b   Δ u = 611,814   k J k g

c   Δ u = 603,918   k J k g

Exercício Resolvido #4

Um tanque rígido com volume interno igual a 250   l i t r o s contém gás metano a 500   K e 1500   k P a . O tanque é, então, resfriado até 300   K . Determine a massa de metano contida no tanque e o calor transferido no processo utilizando as tabelas de gás perfeito. Use a tabela abaixo.

Passo 1

Oi, gente! Esse é um exercício que pede pra gente calcular a massa m de metano C H 4 contida no tanque e o calor Q trocado entre metano C H 4 do tanque e o ambiente.

Para calcular o calor Q trocado entre o tanque e o ambiente durante o processo que resfria o metano da temperatura T 1 = 500   K até a temperatura T 2 = 300   K , usamos a primeira lei.

Q - W = m u 2 - u 1

Q = m u 2 - u 1 + W

onde u 2 é a energia interna do metano depois de ser resfriado a T 2 = 300   K e u 1 é a energia interna do metano a T 1 = 500   K e pressão P 1 = 1500   k P a . W é o trabalho de movimento de fronteira que o metano realiza sobre o ambiente. Como o tanque é rígido, não tem como o metano mudar seu volume e movimentar suas fronteiras. Logo, o trabalho W vale zero!

W = 0   k J

Pela fórmula de Q , vemos que precisamos achar a massa m de metano primeiro, pra encontrar Q depois. Achamos essa massa m , aplicando a equação dos gases perfeitos no metano que ainda não foi resfriado.

P 1 V 1 = m R T 1

m = P 1 V 1 R T 1

onde R é a constante de gás do metano C H 4 que vale 0,51835   k J / k g K e V 1 é o volume do tanque que vale 250   L .

Como já temos todos os dados necessários, vamos calcular a massa m de metano no próximo passo.

Passo 2

Antes de usar a fórmula de m , precisamos converter o volume V 1 de L pra m 3 , dividindo V 1 por 1000 !

V 1 = 250 1000   m 3

V 1 = 0,25   m 3

Substituindo esse valor na fórmula de m :

m = P 1 V 1 R T 1

m = 1500 × 0,25 0,51835 × 500

m = 1,447   k g

Pronto, já achamos uma informação que o enunciado pediu.

Agora, só precisamos aprender a calcular a diferença de energia interna u 2 - u 1 pra conseguir calcular o calor Q . Faremos isso no próximo passo!

Passo 3

Pra achar a diferença entre energias internas u 2 - u 1 , podemos usar a fórmula de diferença de energia interna dos gases perfeitos com calor específico c v 0 constante.

u 2 - u 1 = c v 0 T 2 - T 1

onde c v 0 é o calor específico a volume constante do metano que vale 1,7354   k J / k g K segundo a tabela de gases perfeitos abaixo.

Substituindo c v 0 , T 1 e T 2 na equação de u 2 - u 1 , encontramos:

u 2 - u 1 = 1,7354 × 300 - 500

u 2 - u 1 = - 347,08   k J k g

Usando esse valor, podemos achar quanto vale Q .

Q = m u 2 - u 1 + W

Q = 1,447 × - 347,08 + 0

Q = - 502,2   k J

Aeeeee! Achamos o calor trocado que a questão pedia pra gente! Acabamos com esse exercício!

Resposta

m = 1,447   k g

Q = - 502,2   k J

Exercício Resolvido #5

Inicialmente, a água de uma amostra se encontra a 20   ° C e 100   k P a . A água é então aquecida até que o estado onde a temperatura e a pressão são iguais a 1500   ° C e 100   k P a . Determine a variação de energia interna no processo utilizando as tabelas de propriedades termodinâmicas da água e as tabelas de gás perfeito.

Passo 1

Oi, gente, partiu fazer esse exercício de cálculo de variação de energia interna específica Δ u da água?

Esse exercício quer saber o Δ u da água, quando água líquida a T 1 = 20   ° C e P 1 = 100   k P a com energia interna específica u 1 é aquecida até virar um vapor muito superaquecido (também chamado de gás) a T 3 = 1500   ° C , P 3 = 200   k P a e energia interna específica u 3 .

Δ u = u 3 - u 1

Como a água que tem energia interna u 1 é líquida, não devemos usar as tabelas de gás perfeito pra achar u 1 . Achamos u 1 através das tabelas de propriedades termodinâmicas! No entanto, não podemos usar essa tabela pra achar u 3 , porque a temperatura T 3 é maior que a temperatura T 2 = 1300   ° C de vapor presente na tabela. No próximo passo resolveremos isso!

Passo 2

Já sabemos onde encontrar u 1 , mas como achamos a energia interna específica u 3 do vapor superaquecido a T 3 = 1500   ° C , se não existe informações do vapor a essa temperatura na tabela de propriedades da água?

Pra contornar esse problema, temos que dividir o cálculo de Δ u no cálculo de Δ u 12 e Δ u 23 .

Δ u = Δ u 12 + Δ u 23

Δ u 12 é a variação de energia interna que a água tem, quando vai de T 1 = 20   ° C , P 1 = 100   k P a e u 1 a T 2 = 1300   ° C , P 2 = 200   k P a e u 2 . u 2 é a energia interna do vapor que conseguimos obter através da tabela da água! Ou seja, Δ u 12 é a variação de energia interna da água que a gente consegue calcular usando apenas as tabelas de propriedades da água.

Δ u 12 = u 2 - u 1

Δ u 23 é a variação de energia interna da água que podemos calcular usando apenas a tabela de gás perfeito de H 2 O . Ou seja, Δ u 23 é a variação da energia interna do gás perfeito de água, quando ele vai de T 2 = 1300   ° C e u 2 ' a T 3 = 1500   ° C e u 3 . u 2 ' é a energia interna específica do gás obtida na tabela de gás perfeito. Por isso, u 2 ' é diferente de u 2 .

Δ u 23 = u 3 - u 2 '

No próximo passo nós vamos achar u 2 e u 1 na tabela termodinâmica da água e calcular Δ u 12 !

Passo 3

Primeiro, encontramos a energia interna u 1 da água líquida comprimida a T 1 = 20   ° C e P 1 = 100   k P a . Como não tem tabela pra água líquida comprimida a essa pressão e temperatura, usaremos a energia interna da água líquida saturada a T 1 = 20   ° C obtida da tabela abaixo.

u 1 = 83,94   k J k g

u 2 é um vapor superaquecido a T 2 = 1300   ° C e P 2 = 200   k P a . Logo, achamos u 2 a partir da tabela de vapor superaquecido nessa temperatura e pressão.

u 2 = 4683,2   k J k g

Substituindo u 1 e u 2 na equação de Δ u 12 , achamos:

Δ u 12 = u 2 - u 1

Δ u 12 = 4683,2 - 83,94

Δ u 12 = 4599,26   k J k g

Boa! Calculamos a primeira parte de Δ u . Então vamos partir para o cálculo de Δ u 23 no próximo passo para conseguir calcular Δ u 23 !

Passo 4

Pra calcular Δ u 23 , temos que encontrar o valor das energias internas u 2 ' e u 3 usamos os valores da entalpia h 2 ' de H 2 O a T 2 = 1300   ° C e da entalpia h 3 de H 2 O a 1500   ° C presentes na tabela de gás perfeito de H 2 O . Para achar h 2 ' e h 3 , temos primeiro que converter as unidades das temperaturas T 2 e T 3 de ° C pra K .

T 2 = 1300 + 273,15 = 1573,15   K

T 3 = 1500 + 273,15 = 1773,15   K

Não conseguimos encontrar os valores de entalpia pra essas temperaturas através da tabela de gases perfeitos que temos. Por isso, teremos que interpolar os valores de entalpia!

h 2 ' = 3223,57 + 3487,69 - 3223,57 1600 - 1500 × 1573,15 - 1500 = 3416,77   k J k g

h 3 = 3756,95 + 4030,92 - 3756,95 1800 - 1700 × 1773,15 - 1700 = 3957,36   k J k g

Pra encontrar u 2 ' e u 3 a partir de h 2 ' e h 3 , usamos as fórmulas que servem apenas para gases perfeitos encontradas abaixo:

u 2 ' = h 2 ' - R T 2

u 3 = h 3 - R T 3

onde R é a constante de gás da água H 2 O que vale 0,46152   k J k g K .

Substituindo os dados que temos:

u 2 ' = 3416,77   - 0,46152 × 1573,15 = 2690,73   k J k g K

u 3 = 3957,36 - 0,46152 × 1773,15 = 3139,02   k J k g K

Com u 2 ' e u 3 somos, enfim, capazes de achar Δ u 23 :

Δ u 23 = u 3 - u 2 '

Δ u 23 = 3139,02 - 2690,73

Δ u 23 = 448,29   k J k g

Somando Δ u 12 com Δ u 23 , achamos Δ u !

Δ u = Δ u 12 + Δ u 23

Δ u = 4599,26 + 448,29

Δ u = 5047,55   k J k g

Aeeee! Foi sofrido, mas achamos o que o enunciado pediu! Pra isso, tivemos que dividir o Δ u em uma parcela Δ u 12 que era encontrada nas tabelas de propriedades e em outra parcela Δ u 23 que era obtida nas tabelas de gases perfeitos. mas apesar do trabalho deu tudo certo! :)

Resposta

Δ u = 5047,55   k J k g

Exercício Resolvido #6

Um quilograma de C O 2 deve ser aquecido de 30 a 1500   ° C a pressão de 100   k P a . Calcule a variação de entalpia específica neste processo com os seguintes métodos:

  1. Calor específico constante e com valor tomado na Tab A.5.
  2. Calor específico constante mas avaliado com a equação da Tab. A.6 e a temperatura média.
  3. Calor específico variável e integrando a equação da Tab. A.6.
  4. Utilizando as tabelas de gases perfeitos (A.8).

Passo 1

Fala, galera! Bora fazer esse exercício para entender como se usa o calor específico a pressão constante c p 0 no cálculo da variação de entalpia Δ h ?

O exercício quer que a gente calcule a variação de entalpia Δ h de 1   k g de C O 2 , quando o C O 2 aumenta sua temperatura de T 1 = 30   ° C T 1 = 303,15   K até T 2 = 1500   ° C T 2 = 1773,15   K ! Pra achar Δ h de um gás perfeito através de c p 0 , usamos sempre a integral abaixo.

Δ h = ∫ T 1 T 2 c p 0   d T

A questão quer que a gente ache o valor de Δ h , usando três valores de c p 0 diferentes obtidos em duas tabelas (Tab. A.5 e Tab. A.6) e usando os valores de entalpia h da Tab. A.8.

Primeiro, a questão quer que a gente ache Δ h , considerando o valor de c p 0 constante e igual ao valor presente na tabela A.5. Sabendo disso, já podemos achar Δ h no próximo passo!

Passo 2

O primeiro jeito de encontrar o valor de Δ h é achar o valor de c p 0 na tabela abaixo e substituir esse valor na integral do passo 1.

Através dessa tabela, vemos que o calor específico a volume constante c p 0 do C O 2 vale:

c p 0 = 0,8418   k J k g K

Substituindo esse valor na integral ela vira:

Δ h = ∫ T 1 T 2 c p 0   d T

Δ h = ∫ T 1 T 2 0,8418   d T

Colocando a constante 0,8418 pra fora da integral e integrando d T , achamos:

Δ h = 0,8418 × T 2 - T 1

Δ h = 0,8418 × 1773,15 - 303,15

Δ h = 1237,45   k J k g

Aeeee! A letra (a) da questão já foi resolvida. Agora vamos encontrar Δ h da segunda forma!

Passo 3

Para encontrar Δ u da segunda forma, temos que achar o valor de c p 0 através da equação de c p 0 fornecida pela tabela A.6. Essa fórmula nos dá os valores de c p 0 para qualquer valor da temperatura do gás. No entanto, o enunciado pede para, primeiramente, a gente usar o calor específico da temperatura média T m é d na integral.

T m é d = 1773,15 + 303,15 2 = 1038,15   K

c p 0 é calculado através da equação abaixo.

c p 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

onde θ é a temperatura que usamos pra calcular c p 0 dividida por 1000 . Logo, θ é:

θ = T m é d 1000

θ = 1038,15 1000 = 1,03815

No próximo passo acharemos C 0 , C 1 , C 2 e C 3 através da tabela A.6, para achar Δ h da segunda forma.

Passo 4

Os coeficientes C 0 , C 1 , C 2 e C 3 estão presentes na tabela abaixo.

C 0 = 0,45

C 1 = 1,67

C 2 = - 1,27

C 3 = 0,39

Substituindo esses valores na equação de c p 0 :

c p 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

c p 0 = 0,45 + 1,67 × 1,03815 - 1,27 × 1,03815 2 + 0,39 × 1,03815 3

c p 0 = 1,25132   k J k g K

Para encontrar Δ h , substituímos esse valor de c p 0 na integral do passo 1, colocamos a constante pra fora e integramos d T .

Δ h = ∫ T 1 T 2 c p 0   d T

Δ h = ∫ T 1 T 2 1,25132   d T

Δ h = 1,25132 × T 2 - T 1

Δ h = 1,25132 × 1773,15 - 303,15

Δ h = 1839,44   k J k g

Resolvemos a letra (b)! Então vamos tentar resolver a letra (c), calculando Δ h da terceira forma!

Passo 5

Uma terceira forma de calcular a variação de entalpia Δ h , é substituindo a expressão de c p 0 do passo 3 na integral de Δ h , usando os coeficientes C 0 , C 1 , C 2 e C 3 que achamos no passo 4.

Δ h = ∫ T 1 T 2 c p 0   d T

Δ h = ∫ T 1 T 2 C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3   d T

Δ h = ∫ T 1 T 2 C 0 + C 1 T 1000   + C 2 T 1000 2 + C 3 T 1000 3   d T

Δ h = C 0 T 2 - T 1 + C 1 2000 T 2 2 - T 1 2 + C 2 3 × 10 6 T 2 3 - T 1 3 + C 4 4 × 10 9 T 2 4 - T 1 4

Substituindo os coeficientes C 0 , C 1 , C 2 e C 3 que achamos no passo 4:

Δ h = 0,45 × 1773,15 - 303,15 + 1,67 2000 × 1773,15 2 - 303,15 2

- 1,27 3 × 10 6 × 1773,15 3 - 303,15 3 + 0,39 4 × 10 9 × 1773,15 4 - 303,15 4

Δ h = 1824,79   k J k g

Achamos a resposta da letra (c) e estamos na reta final da questão! Vamos pro último passo!

Passo 6

Na última forma de calcular a variação de entalpia Δ h , temos que encontrar o valor da entalpia h 1 que o C O 2 tinha e o valor de entalpia h 2 que o C O 2 passou a ter depois de aumentar sua temperatura.

Δ h = h 2 - h 1

Pra encontrar h 2 e h 1 , usamos os valores da entalpia h 1 que o C O 2 tinha quando sua temperatura T 1 era de 303,15   K e da entalpia h 2 que o C O 2 passou a ter quando sua temperatura T 2 passou a medir 1773,15   K . h 1 e h 2 são calculados a partir das entalpias da tabela abaixo por interpolação.

h 1 = 214,38 + 257,90 - 214,38 350 - 300 × 303,15 - 300 = 217,12   k J k g

h 2 = 1882,43 + 2017,67 - 1882,43 1800 - 1700 × 1773,15 - 1700 = 1981,36   k J k g

Com h 1 e h 2 somos, enfim, capazes de achar Δ h .

Δ h = h 2 - h 1

Δ h = 1981,36 - 217,12

Δ h = 1764,24   k J k g

Com a resposta da letra (d) encerramos esse exercício! Ele te ajudou a fixar o conteúdo da teoria? Responde aí!

Resposta

a   Δ h = 1237,45   k J k g

b   Δ h = 1839,44   k J k g

c   Δ h = 1824,79   k J k g

d   Δ h = 1764,24   k J k g

Exercício Resolvido #7

Nós precisamos determinar o aumento de temperatura de uma amostra de gás nitrogênio que inicialmente apresentatemperatura igual a 1200   K . Sabendo que o aumento de energia interna específica do nitrogênio é 40   k J / k g , determine a variação de temperatura ocorrida utilizando:

  1. o valor de c v 0 da Tab. A.5
  2. o valor de c v 0 avaliado com a equação presente na Tab. A.6 e na temperatura igual a 1200   K .
  3. Os valores de u apresentados na Tab. A.8

Passo 1

Fala, galera! Vamos fazer esse exercício para entender como se usa o calor específico a volume constante c v 0 no cálculo da variação de temperatura Δ T de um gás?

O exercício quer que a gente calcule a variação de temperatura Δ T do gás N 2 , quando a variação de energia interna específica do gás Δ u vale 40   k J / k g ! Pra achar Δ T de um gás perfeito, assumindo que c v 0 é constante, usamos sempre a equação abaixo.

Δ u = c v 0 Δ T

Δ T = Δ u c v 0

A questão quer que a gente ache o valor de Δ T , usando dois valores de c v 0 diferentes obtidos nas duas tabelas (Tab. A.5 e Tab. A.6) e usando os valores de entalpia h da Tab. A.8.

Primeiro, a questão quer que a gente ache Δ T , considerando o valor de c v 0 constante e igual ao valor presente na tabela A.5. Sabendo disso, já podemos achar Δ T no próximo passo!

Passo 2

O primeiro jeito de encontrar o valor de Δ T é achar o valor de c v 0 na tabela abaixo e substituir esse valor na equação do passo 1.

Através dessa tabela, vemos que o calor específico a volume constante c v 0 de N 2 vale:

c v 0 = 0,7448   k J k g K

Substituindo esse valor na equação de Δ T :

Δ T = Δ u c v 0

Δ T = 40 0,7448

Δ T = 53,7   ° C

Aeeee! A letra (a) da questão já foi resolvida. Agora vamos encontrar Δ T da segunda forma!

Passo 3

Para encontrar Δ T da segunda forma, temos que achar o valor de c v 0 através da equação de c p 0 fornecida pela tabela A.6. O enunciado pede para a gente usar o calor específico na temperatura T 1 = 1200   K na equação de Δ T . Para achar c v 0 a partir do c p 0 da tabela, usamos a equação de gases perfeitos abaixo.

c v 0 = c p 0 - R

onde R é a constante de gás do N 2 e é encontrada na tabela anterior. Ela vale 0,2968 k J k g K .

c p 0 é calculado através da equação abaixo.

c p 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

onde θ é a temperatura que usamos pra calcular c p 0 dividida por 1000 . Logo, θ é:

θ = T 1 1000

θ = 1200 1000 = 1,2

No próximo passo acharemos C 0 , C 1 , C 2 e C 3 através da tabela A.6, para achar Δ T da segunda forma.

Passo 4

Os coeficientes C 0 , C 1 , C 2 e C 3 estão presentes na tabela abaixo.

C 0 = 1,11

C 1 = - 0,48

C 2 = 0,96

C 3 = - 0,42

Substituindo esses valores na equação de c p 0 :

c p 0 = C 0 + C 1 θ + C 2 θ 2 + C 3 θ 3

c p 0 = 1,11 - 0,48 × 1,2 + 0,96 × 1,2 2 - 0,42 × 1,2 3

c p 0 = 1,19064   k J k g K

Usando a equação que calcula c v 0 a partir de c p 0 :

c v 0 = c p 0 - R

c v 0 = 1,19064 - 0,2968

c v 0 = 0,89384   k J k g K

Para encontrar Δ T , substituímos esse valor de c v 0 na equação do passo 1.

Δ T = Δ u c v 0

Δ T = 40 0,89384

Δ T = 44,8   ° C

Resolvemos a letra (b)! Então vamos tentar resolver a letra (c), calculando Δ T da terceira forma!

Passo 5

Pra calcular a variação de temperatura Δ T da terceira forma, temos que encontrar primeiro o valor da energia interna u 1 que o N 2 tinha, quando sua temperatura valia T 1 = 1200   K e o valor de energia interna u 2 que o N 2 passou a ter depois de aumentar sua energia interna em Δ u = 40   k J / k g .

u 2 = Δ u + u 1

Pra encontrar u 1 , usamos o valor da entalpia h 1 que o N 2 tinha quando sua temperatura T 1 media 1200   K . h 1 está presente na tabela abaixo.

h 1 = 1313,16   k J k g

Pra encontrar u 1 a partir de h 1 , usamos a fórmula que serve apenas para gases perfeitos abaixo.

u 1 = h 1 - R T 1

u 1 = 1313,16 - 0,2968 × 1200

u 1 = 957   k J k g

Substituindo os dados que temos na equação de u 2 :

u 2 = Δ u + u 1

u 2 = 40 + 957

u 2 = 997   k J k g

Agora, temos que encontrar h 2 a partir de u 2 para usar a tabela de gases perfeitos e encontrar a temperatura T 2 que o gás N 2 passa a ter após o aumento na energia interna! Achamos h 2 a partir da equação que serve para gases perfeitos encontrada abaixo.

h 2 = u 2 + R T 2

h 2 = 997 + 0,2968 × T 2

Como vimos na letra (a) e (b) da questão, o aumento de temperatura Δ T deve ser menor que 100   K . Logo, T 2 deve ficar entre 1200   K e 1300   K . Isso quer dizer que podemos achar h 2 interpolando a tabela de entalpia pra gases perfeitos.

h 2 = 1313,16 + 1434,31 - 1313,16 1300 - 1200 × T 2 - 1200

Igualando essa equação de h 2 a outra equação de T 2 , podemos achar o valor de T 2 .

997 + 0,2968 × T 2 = 1313,16 + 1434,31 - 1313,16 1300 - 1200 × T 2 - 1200

Reorganizando essa equação:

T 2 = 99700 - 131316 + 121,15 × 1200 121,15 - 29,68

T 2 = 1243,7   K

Subtraindo T 2 de T 1 , achamos Δ T .

Δ T = T 2 - T 1

Δ T = 1243,7 - 1200

Δ T = 43,7   K

Com a resposta da letra (c) encerramos esse exercício! Show!!!

Resposta

a   Δ T = 53,7   ° C

b   Δ T = 44,8   ° C

c   Δ T = 43,7   K

Exercício Resolvido #8

Um tanque rígido e isolado termicamente está dividido em duas regiões por meio de uma membrana (veja o esboço da Fig. P5.58). A região A apresenta V A = 0,5   m 3 e contém ar a 250   k P a e 300   K . A região B apresenta V B = 1   m 3 e contém ar a 150   k P a e 1000   K . A membrana é, então, rompida e espera-se que seja estabelecido o equilíbrio. Determine a pressão e a temperatura do ar no estado final deste processo. Use as tabelas abaixo.

Passo 1

E aí, querid@s! Indo direto ao ponto, esse exercício quer saber quanto valem a pressão P 2 e a temperatura T 2 do ar, depois da membrana furar e permitir que o ar das regiões A e B se misturem. A figura abaixo mostra os dados que temos pra calcular T 2 e P 2 .

Como o tanque com ar está isolado termicamente, a troca de calor Q entre o ar e o ambiente vale zero.

Q = 0

Além disso, o trabalho W realizado pela ar no ambiente vale zero, porque a mistura de ar é apenas uma expansão não resistida.

W = 0

Essas duas informações são muito importantes! Usando esses novos dados na equação de conservação de energia, descobrimos quanto vale a energia interna específica u 2 do ar misturado! Saber quanto vale u 2 é fundamental pra achar a temperatura T 2 do ar misturado (que é uma incógnita do problema) através da tabela de gases perfeitos.

Q - W = U 2 - U 1

onde U 2 é a energia interna do ar misturado e U 1 é a soma da energia interna da região A U A com a energia intern da região B U B .

0 - 0 = U 2 - U A + U B

No entanto, a energia interna U é sempre a massa m multiplicada pela energia interna por unidade de massa u .

0 = m 2 u 2 - m A u A + m B u B

u 2 = m A u A + m B u B m 2

Agora que temos uma fórmula pra achar u 2 , podemos começar a encontrar as variáveis u A , u B , m A , m B e m 2 que são necessárias para acharmos u 2 . No próximo passo a gente vai iniciar as contas, encontrando m A , m B e m 2 .

Passo 2

Para achar a massa de ar m A da região A , usamos a equação de gases perfeitos abaixo.

P A V A = m A R T A

m A = P A V A R T A

onde R é a constante de gás do ar que vale 0,2870   k J / k g K .

Substituindo esse valor na fórmula de m A :

m A = 250 × 0,5 0,2870 × 300

m A = 1,4518   k g

Também temos que usar a equação de gases perfeitos pra descobrir a massa m B da região B .

P B V B = m B R T B

m B = P B V B R T B

m B = 150 × 1 0,2870 × 1000

m B = 0,5226   k g

A massa m 2 de ar misturado é a soma das massas m A e m B que o ar tinha antes de se misturar.

m 2 = m A + m B

m 2 = 1,4518 + 0,5226

m 2 = 1,9744   k g

Agora só falta encontrar u A e u B através das tabelas de gás perfetio na próxima etapa pra poder achar u 2 .

Passo 3

Para achar u A e u B , vamos precisar usar a tabela de gás perfeito do ar abaixo.

u A = 214,36   k J k g

u B = 759,19   k J k g

Substituindo esss dois valores na fórmula de u 2 :

u 2 = m A u A + m B u B m 2

u 2 = 1,4518 × 214,36 + 0,5226 × 759,19 1,9744

u 2 = 358,57   k J k g

Como vocês podem ver pela tabela de gás perfeito do ar abaixo, a energia interna u 2 é correspondente a uma temperatura que está entre 480   K e 500   K . Logo, faremos uma interpolação pra achar a temperatura T 2 através dessa tabela.

T 2 = 480 + 500 - 480 359,84 - 345,04 × 358,57 - 345,04

T 2 = 498,3   K

Que beleza! Encontramos uma das informações que o enunciado pedir! Agora só falta encontrar P 2 no próximo passo!

Passo 4

Para encontrar a pressão P 2 do ar misturado, usaremos a equação de gás perfeito para o ar misturado.

P 2 V 2 = m 2 R T 2

P 2 = m 2 R T 2 V 2

P 2 = 1,9744 × 0,2870 × 498,3 1,5

P 2 = 188,2   k P a

Pronto, achamos a pressão e fechamos o exercício! Uhuuuul!

Resposta

T 2 = 498,3   K

P 2 = 188,2   k P a

Exercícios de Livros Relacionados

A Fig. P5.95 mostra um cilindro fechado, isolado e dividido em duas regiões, cada uma com 1m 3 , por um pistão que está imobilizado por um pino. A região A contém ar a 200k P a e 300K e a B contém ar
Um tanque rígido com volume interno igual a 250 litros contém gás metano a 500K e 1500k P a . O tanque é, então resfriado até 300K . Determine a massa de metano contida no tanque e o calor transferido
Repita o problema anterior considerando que o vaso rígido contém nitrogênio.
Um vaso rígido contém 2k g de C O 2 a 100k P a e 1200K . O gás é então aquecido até 1400K . Determine a transferência de calor no processo utilizando: a. o calor específico indicado na Tab. A . 5 e b.
Um aquecedor elétrico é utilizado para aquecer água. Inicialmente, a temperatura e a pressão na água são iguais a 400K e 100k P a . Sabendo que o aquecedor transfere 700k J para cada quilograma de águ