Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Conhecido
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Teste de Hipóteses
O teor da substância no minério se comporta como uma Normal de média e desvio padrão . Já o teor da substância no minério também se comporta como uma Normal, porém esta com média e desvio padrão . A Companhia dispõe de um volume apreciável de um minério cuja natureza ou é desconhecida. Como é uma impureza indesejável, só interessa a Cia. utilizar esse material no caso de ele ser . Serão coletadas unidades amostrais desse material a serem analisadas quimicamente e, com base nos resultados, se pretende testar : o minério é contra : o minério é .
- Qual deve ser o tamanho da amostra para que as probabilidades do Erro I e do Erro II sejam respectivamente de e ?
- Usando o obtido em qual a decisão a ser tomada se ? Justifique a sua resposta.
Sugestão: Note que quanto maior for a média amostral, maiores serão os motivos para se rejeitar .
Passo 1
(a)
Calma, vamos devagar e sempre desossar essa questão aí.
A questão é sobre uma substância encontrada em dois minérios: e .
A gente sabe como essa substância se comporta em cada minério...
A companhia tem uma quantidade grande de um minério desconhecido e como o é ruim, ela quer testar se o minério que ela tem é o , que é o que tem menos .
Vamos ter que fazer o seguinte teste de hipóteses então:
A gente tem amostras desse material desconhecido, se a média de neles for quer dizer que são do minério , certo?
Então nós temos duas hipóteses pra média...
Outros dados que a gente tem também são:
Independente do tipo de minério, os dois tem o mesmo desvio padrão.
E:
E vamos ter que usar esses erros aí pra achar o valor de (tamanho da amostra).
Passo 2
Só temos duas possibilidades pra média, mas como ... podemos usar aquele caso de teste...
Show?
E pra esse caso a gente sabe que a região de rejeição é acima, quando a média for maior que média de corte...
Passo 3
Agora vamos usar os erros ali de cima... você lembra o que são cada um deles?
Erro do tipo I é o de rejeitar quando é verdadeira. Hummm... pra isso então basta a gente calcular a prob. do na amostra ser maior que o quando ... porque desse jeito a gente acabaria caindo na região de rejeição e negando mesmo ele sendo verdadeiro.
Padronizando...
Usando a tabela da Normal a gente sabe que . E daí vamos tirar uma relação entre e .
Passo 4
Bom, agora vamos ter que procurar outra relação entre essas incógnitas né... e pra isso vamos usar o erro do tipo II.
Erro do tipo II é o de aceitar , com sendo falsa.
O que muda agora? Primeiro de tudo que se é falsa, então , concorda?
Show!
Então temos que calcular a prob. da média observada na amostra ficar dentro da região de aceitação , com .
Passo 5
Padronizando isso...
Só que agora .
Usando a tabela da Normal, a gente sabe que ... é o mesmo que o só que com o sinal invertido.
Daí:
Passo 6
Agora é só juntar esses dois candangos aí!
Vamos isolar o nessa equação aqui e substitui na outra pra achar o nosso ...
Substitui agora nessa equação debaixo aqui comigo!
Show? Só algebrismo isso aí!
Passo 7
(b)
Agora que a gente já tem o , a gente pode descobrir o ...
Vamos usar essa aí, você poderia usar a outra também, tanto faz!
Resolvendo essa matemática aí!
Passo 8
A média que a gente tem agora é:
E a nossa média de corte é:
Você ainda lembra qual era a região de rejeição? Era , certo?
Só que no caso ...
Desse jeito nosso está dentro da nossa região de aceitação, então deveríamos aceitar .