Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Conhecido
Teoria
Estávamos falando de um caso, onde tínhamos uma empresa querendo comprar imãs, que podiam ser do país A ou do país B. Na questão, precisávamos saber de qual país era a amostra de 25 unidades para fazer a oferta no leilão, lembram?
Montamos assim:
Hipótese Nula Os imãs são de origem B
Hipótese Alternativa : Os imãs são de origem A
E definimos como
Obs.: A nossa região crítica era:
Como a média e o desvio foram dados, nessa questão queremos saber qual a probabilidade de cometermos esses erros.
- Cálculo das probabilidades
a) Se é verdadeira (os imãs são de B), pelo Teorema Central do Limite a distribuição de é dada por:
Opa! DE ONDE VEIO ISSO?
Lembra que pelo Teorema Central do Limite falamos que
Onde é a média; é a variância e é o tamanho da amostra.
Continuando...
Se queremos calcular o erro I:
Padronizando
Epa! Calma que é só isso aqui ô
Então...
E pela tabela da normal, sabemos que
A probabilidade de ser A quando afirmamos ser B é
b) Se é verdadeira (os imãs são de A), pelo TCL a distribuição de é:
(Mesmo esquema da letra a ein!)
Então
Padronizando
Pela tabela normal temos que
Portanto a probabilidade de dizermos que é de B quando é de A é de 1,88%.
Tranquilo? Vamos olhar numa tabelinha:
Mas nem sempre vamos querer saber a probabilidade dos erros... às vezes vamos querer saber qual é a região crítica para conseguir avaliar como ele deve decidir.
Note que nestes casos ao invés da icógnita ser ela será . (Isso vai acontecer em VÁRIAS questões!)
Ex.:
Se sabemos que , qual será o ponto crítico?
Como estamos trabalhando como uma distribuição normal, precisamos ver na tabela quem é y, ou seja, qual número substituindo na expressão por y, teremos uma probabilidade igual a 0,05.
No caso temos que
Atenção!
Nesse caso só tínhamos uma região crítica, pois estabelemos que . Contudo em casos BILATERAIS, ou seja, quando o enunciado não diz absolutamente nada sobre a hipótese alternativa, restando apenas a informação de que ela deve ser diferente de as coisas serão um pouco diferente. Percebe só:
Ex.: Um estudo mostra que pessoas felizes comem uma média de 500g barras de chocolate por dia, com desvio padrão de 20g. Uma amostra com 100 pessoas quer verificar tal hipótese.
é a hipótese que mostra que existem pessoas felizes que comem mais de 500g ou menos de 500g. Portanto se adotarmos nosso nível de significância sabemos que serão divididas em duas regiões.
Teremos dois casos que nos levarão para duas regiões críticas
Muitos livros chamam isso de
Temos que usar a tabela da normal para descobrir quem é
Então
Muitos livros chamam isso de
Temos que usar a tabela da normal para descobrir quem é
Assim
Tranquilo?
Agora vamos fixar isso aí!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Teste de Hipótese
O Recursos Humanos de uma dada companhia afirma que o salário médio de uma dada região é de . Para testar esta hipótese, retirou-se uma amostra de trabalhadores desta região e obteve-se um salário médio de e desvio padrão de . Determinar se a hipótese é aceitável a um nível de significância de .
Passo 1
Bom, pra gente ver o que ele poderia decidir a gente tem que saber qual será a região de aceitação e a região crítica da hipótese nula, achar o valor de corte. Pra isso, a gente segue aquela rotina lá até o passo que a gente acha essas paradas.
Primeiro definimos e .
Temos que .
Passo 2
Qual é a nossa estatística de teste?
Concorda? Pois é um teste pra média populacional e a gente conhece o desvio padrão populacional.
Passo 3
Como estamos no primeiro caso lá dos nossos três casos:
Temos região crítica:
Olhando na tabela...
Fazendo agora:
Então nosso valor está dentro da região crítica e sendo assim, a hipótese não é aceitável.
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFRJ, ProbEst, P2/2014.1, 4
Pretende-se realizar um teste de hipótese de versus com ,
e .
- Aponte a estatística de teste e o critério de decisão (ou seja, as regiões de rejeição e de aceitação) a serem usados.
- Diga, no contexto de teste de hipóteses, o que são: o e o . Determine a para .
- Que decisão deve ser tomada se nesta amostra com 25 elementos.
Passo 1
Levando em consideração que , , .
Determinamos as hipóteses:
Estariamos no terceiro caso, beleza?
Nossa estatística de teste será:
tem distribuição . Podemos usar a tabela da Normal.
Passo 2
Pra esse caso a gente sabe que a regiao de rejeição é definida por:
Usando tabela, . Então:
Passo 3
Substituindo em para achar a região de rejeição:
A gente considera que é o valor de corte. A região de rejeição é e a de aceitação é
Passo 4
(b)
A gente sabe que é rejeitar quando é verdadeira e é aceitar quando é falsa.
A é obtida supondo . Esse é o erro de aceitar quando é falsa.
Temos que calcular a probabilidade do novo (de corte) ser menor do que o 9,23 que foi o que a gente encontrou.
Padronizando:
Usando a tabela da Normal:
Passo 5
(c)
Teríamos que .
Como esse valor é menor que 9,23 estaria dentro da região de rejeição.
Então, a decisão seria rejeitar a hipótese .