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Exercícios Resolvidos de A Forma Complexa da Série de Fourier

Ver Teoria
Exercício 4123

Enunciado

Seja f : 0 , π → R dada por f x = π - x

  1. Encontre uma série de Fourier desta função com período π ;
  2. Esboce o gráfico da série de Fourier no intervalo [ - π , 2 π ]

Passo 1

Precisamos agora encontrar a Série complexa de Fourier de f , a fórmula é:

f x = ∑ n = - ∞ ∞ c n e - 2 π i n x / L    

E a fórmula do coeficiente é:

c n = 1 2 L ∫ - L L f x e 2 π i n x / L d x ,       n = 0 , ± 1 , ± 2 …

Assim, precisamos calcular os coeficientes para encontrarmos a série, então:

c n = 1 π ∫ 0 π π - x e - 2 i n x d x

Fazendo a substituição:

u = π - x ⟹ x = π - u

- d u = d x  

c n = 1 π ∫ 0 π u e 2 i n ( u - π ) d x = 1   π e - 2 i n π ∫ 0 π u e 2 i n u d x

Resolvendo a integral:

c n = 1 π e 2 i n u ( 2 i n u - 1 ) 2 i n 2 0 π = - 1 π e 2 i n π ( 2 i n π - 1 ) 4 n 2 - e 2 i n 0 ( 2 i n 0 - 1 ) 4 n 2 ∴ c n = - i 2 n

Vamos agora calcular c 0 . Assim:

c 0 = 1 π ∫ 0 π ( π - x ) d x = 1 π π x - x 2 2 0 π = π 2

Com isso, temos que nossa série de Fourier ficou:

f x = π 2 + ∑ n = - ∞ ∞ - i 2 n e - 2 i n x = π 2 + ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n x n

Passo 2

b Agora é só repetir π - x no intervalo - π , 2 π e usar o teorema da convergência da série de Fourier que chegamos no seguinte:

Resposta

a

f x = π 2 + ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n x n

b