Teoria

Fala aí! Bem vindo ao Responde Aí. Hoje a gente vai aprender juntinhos o que é Autovalor e Autovetor!

O que são Autovalores e Autovetores?

Vamos direto ao que interessa! Temos a seguinte definição formal de autovalores e autovetores:

Seja uma matriz quadrada. Um vetor não nulo é autovetor associado ao Autovalores e autovetores se:

Autovalores e Autovetores
Autovalores e Autovetores

Esse é uma matriz quadrada não nula, é um vetor genérico que será nosso autovetor e será o autovalor! Se liga nesse exemplo pra ficar mais claro:

Autovalor e autovetor: Exemplo
Autovalor e autovetor: Exemplo

Temos a matriz quadrada de vermelhinho ali em cima e quando multiplicamos ela pelo autovetor temos como resultado o próprio autovetor multiplicada pelo autovalor .

Ou seja, os autovetores são vetores que após aplicados a matriz aparecem no resultado multiplicados um autovalor . Ou seja, a matriz sofreu uma transformação mas os vetores continuaram aparecendo no resultado! Na prática a gente tem que estar sempre ligado nas seguintes considerações:

  • A matriz TEM que ser quadrada;
  • Os autovalores e autovetores estarão sempre juntos;
  • Cada autovetor só pode estar associado a um autovalor ;
  • Autovalores podem estar associados a mais de um autovetor ;
  • pode ser zero, mas não.

📢 Clique para ver mais:

Quer saber mais sobre autovalores e autovetores? Se liga nesse vídeo completaço que o Responde Aí preparou pra você e aprenda como achar os autovalores e autovetores! 👇

Como achar o Autovetor de uma matriz?

Vamos considerar a seguinte matriz:

Vamos descobrir os autovalores e autovetores dessa matriz! Para fazer isso vamos ter que calcular as raízes do polinômio característico, que é a seguinte expressão:

Para encontrarmos os autovalores e vamos calcular as raízes do polinômio característico fazendo, :

Primeiro calculando o determinante:

Cálculo do determinante
Cálculo do determinante

E igualando a zero:

Encontramos e , show já temos os autovalores. Agora vamos descobrir os autovetores associados a cada um desses autovalores. Podemos fazer isso com duas equações:

Para vamos fazer:

Logo, pensando como um vetor genérico :

Calculando essa multiplicação de matrizes, encontramos o seguinte sistema:

Como queremos um vetor , os autovetores associados ao autovalor tem a forma:

Para o autovalor vamos usar:

Dessa forma:

Resolvendo o sistema, encontramos e , e por isso queremos vetores com a carinha , logo os autovetores associados ao autovalor tem a forma:

Exemplo: A matriz tem três autovalores distintos, , e . Os vetores e são autovetores associados a e respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a

a)

b)

c)

d)

A resolução desse problema, você pode conferir no vídeo abaixo!

Vamos praticar com exercícios?!

Exemplo: A matriz tem três autovalores distintos, , e . Os vetores e são autovetores associados a e respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a

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