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Autovalores e Autovetores de uma TL

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Teoria

Já sabemos como calcular os autovetores e autovalores de uma matriz. Mas lembra que toda matriz pode ser representada por uma T L ? Então, como calcular os autovalores e autovetores de uma T L ?

Bom, é mais simples do que você imagina. Quando associamos um autovalor ou autovetor a uma matriz, estamos nos referindo a matriz que representa uma transformação T indo da base canônica para a canônica.

Primeiramente, podemos reescrever aquela definição que demos de autovetor e autovalor usando transformação no lugar de matriz. No fundo, é a mesma coisa que vimos com matrizes. Se você aplica uma transformação em algum vetor e ela “cospe” um múltiplo do vetor, então esse vetor é um autovetor. E o valor que foi multiplicado por ele é um autovalor. Se liga:

Bom, vamos usar a T L abaixo como exemplo.

T x , y = ( 2 x , y )

Para encontrarmos seus autovalores primeiramente basta calcular as raízes do polinômio característico. Lembra dele? Esse aqui oh:

  p λ = det ⁡ T - λ I

Só que agora temos T , que é a matriz que representa a transformação na base canônica. Assim sendo:

p λ = det ⁡ T ε - λ I d ε = det ⁡ T ε - λ I ⇒

p λ = det ⁡ T ε - λ I d ε

OBS: Lembre-se que I é a matriz identidade e I d a transformação identidade.

Então, para encontrar os autovalores basta fazer p λ = 0 .

Vamos testar para a nossa T x , y = ( 2 x , y ) .

T ε = 2 0 0 1 ⇒

2 0 0 1 - λ 1 0 0 1 = 2 - λ 0 0 1 - λ ⇒

det ⁡ 2 - λ 0 0 1 - λ = 0 ⇒

2 - λ 1 - λ = 0

Logo, λ = 2 e λ = 1 !!

E para achar os autovetores?

Como já vimos, podemos usar a forma matricial fazendo:

A u = λ u

o u

A - λ I u = 0

Ou então podemos usar agora a T L . Basta fazer:

T u = λ u

Vamos usar essa para λ = 2 :

T x , y = λ x , y ⇒

2 x , y = 2 x , y ⇒

2 x , y = 2 x , 2 y ⇒

0 , - y = 0 ⇒ y = 0

Assim, nossos autovetores são x , 0 = x ( 1,0 ) . Que é a mesma coisa que s p a n 1,0 . Era de se esperar que desse infinitos valores, já que temos um autoespaço né?

Agora vamos um método de matrizes para λ = 1 :

2 - λ 0 0 1 - λ x y = 2 - 1 0 0 1 - 1 x y ⇒

1 0 0 0 x y = 0

Resolvendo o sistema achamos que x = 0 , e portanto, nossos autovetores são 0 , y = y ( 0,1 ) .

Repare que a fórmula usada acima foi basicamente:

T ε - λ I d ε u ε = 0

Caso você não tenha a matriz na base canônica, é só usar a mesma fórmula acima só que para outra base qualquer:

T β - λ I d β u β = 0

Tanto o polinômio característico, quanto os autovalores da T L serão os mesmos. A única coisa que vai mudar é que você não vai encontrar o autovetor direto, e sim as coordenadas do autovetor na base β . Preste bastante atenção nisso ;)

Proposições com Autovalores e Autovetores

Bom galera não tem nada novo nesse capítulo. Vamos apenas nos limitar a usar as propriedades de autovalores e autovetores para provar coisas. Vamos ver um exemplo que é o melhor jeito de entendermos.

Sejam u e v autovetores, definimos w = α u + β v com w ≠ 0 ,   α ,   β ∈ R . Temos que u e v estão associados ao mesmo autovalor λ . Prove que w é autovetor associado a λ .

Taí o problema que temos que resolver. Vamos dar uma traduzida no que ele quer? Ele quer que a gente prove que, se tivermos dois autovetores associados ao mesmo autovalor λ , qualquer vetor gerado pela C L desses dois autovetores também será um autovetor associado à λ .

Vamos começar a usar as propriedades que conhecemos. Sabemos que u e v são autovetores de uma matriz, ou de uma T L . Vamos chamar essa T L de T . Logo, pelo enunciado, temos:

T u = λ u

T v = λ v

Então queremos que:

T α u + β v = λ α u + β v

Pela linearidade, temos:

α T u + β T v = λ α u + β v

α λ u + β λ v = λ α u + β v

λ α u + β v = λ α u + β v

Opa, os dois lados da igualdade batem, então está provado ;)

Basicamente é isso aí que você vai fazer. Vamos dar uma praticada nos exercícios!

Proposições com Autovalores e Autovetores

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Lista de monitoria 3 para a P3, exercício 1-a), b), c), d) 2015.1, Álgebra Linear I, PUC-rio.

Sejam α = { 1,1 , 0 ,   1,0 , 1 ,   0,1 , 0 } uma base de R 3 e T : R 3 ⟶ R 3 a transformação linear tal que:

  • T 1,1 , 0 = 0 , - 2,0
  • T 1,0 , 1 = 2,0 , - 2
  • T 0,1 , 0 = - 1 , - 2,0

a   Encontre T α

b   Encontre o polinômio característico de T

c   Encontre os autovalores de T

d   Encontre os autovetores de T

Passo 1

a   Bom, para encontrar a matriz T α , basta apenas escrevermos as imagens dos vetores da base α como uma C L da base α .

T 1,1 , 0 = 0 , - 2,0 = 0 ⋅ 1,1 , 0 + 0 ⋅ 1,0 , 1 - 2 ⋅   0,1 , 0

T 1,0 , 1 = 2,0 , - 2 = 4 1,1 , 0 - 2 1,0 , 1 - 4 0,1 , 0

T 0,1 , 0 = - 1 , - 2,0 = - 1 1,1 , 0 + 0 ⋅ 1,0 , 1 - 1 0,1 , 0

Logo nossa matriz fica assim:

T α = 0 4 - 1 0 - 2 0 - 2 - 4 - 1          

Passo 2

b   Agora basta calcular o polinômio característico da matriz acima, pois é a mesma coisa para qualquer base.

T α - λ I d α = - λ 4 - 1 0 - 2 - λ 0 - 2 - 4 - 1 - λ ⇒

p λ = det ⁡ T α - λ I d α = - λ - 2 - λ - 1 - λ - 2 - 2 - λ ⇒

- 2 - λ - λ - 1 - λ - 2 = - 2 - λ λ + λ 2 - 2 = - λ + 2 2 ( λ - 1 )

Passo 3

c   Para achar os autovalores, basta achar o polinômio característico:

Se - λ + 2 2 λ - 1 = 0 , então:

λ 1 = 1

λ 2 = λ 3 = - 2

Assim temos então dois autovalores, sendo o segundo deles repetido (multiplicidade 2 ). São eles:

λ 1 = 1

λ 2 = - 2

Passo 4

d   Agora faltam só os autovetores!

Vamos usar a propriedade:

T α - λ I d α u α = 0

Para λ = 1

- 1 4 - 1 0 - 3 0 - 2 - 4 - 2 ⋅ a b c = 0

- a + 4 b - c = 0 ⇒ - a - c = 0 0 a - 3 b + 0 c = 0 ⇒ b = 0 - 2 a - 4 b - 2 c = 0 ⇒ - 2 a - 2 c = 0

- a - c = 0 ⇒ c = - a

Assim, temos que:

u = a 1,1 , 0 + 0 1,0 , 1 - a 0,1 , 0 = a ( 1,0 , 0 )

Passo 5

Agora falta achar a relação de a com as coordenadas x , y , z :

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 1,0 , 1 + c 0,1 , 0 ⇒

x = a + b ⇒ a = x - z y = a + c ⇒ c = y - x + z z = b

E finalmente!

u = x - z 1,0 , 0 = x 1,0 , 0 - z ( 1,0 , 0 )

Logo, os autovetores de λ = 1 são:

s p a n 1,0 , 0

Passo 6

Agora vamos achar os autovetores de λ = - 2 : T α - λ I d α v α = 0

2 4 - 1 0 0 0 - 2 - 4 1 a ' b ' c ' = 0

2 a ' + 4 b ' - c ' = 0 ⇒ c ' = 2 a ' + 4 b ' 0 = 0 - 2 a ' - 4 b ' + c ' = 0

v = a ' 1,1 , 0 + b '   1,0 , 1 + c ' 0,1 , 0 ⇒

v = a ' 1,1 , 0 + b '   1,0 , 1 + 2 a ' + 4 b ' 0,1 , 0 ⇒

v = ( a ' + b ' ,   3 a ' + 4 b ' ,   b ' )

Aplicando as relações do passo anterior:

v = x ,   3 x - 3 z + 4 z , z ⇒

v = x 1,3 , 0 + z ( 0,1 , 1 )

Logo os autovetores de λ = - 2 são:

s p a n 1,3 , 0 ,   0,1 , 1

Resposta

a   T α = 0 4 - 1 0 - 2 0 - 2 - 4 - 1          

b   p λ = - λ + 2 2 ( λ - 1 )

c   λ 1 = 1 λ 2 = - 2

d   s p a n 1,0 , 0 e s p a n 1,3 , 0 ,   0,1 , 1

Exercício Resolvido #2

Livro Álgebra Linear, Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, página 315 exercício 2, a), e)

Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações abaixo:

  1. T : R 2 ⟶ R 2 ,   T x , y = ( x + 2 y , - x + 4 y )
  2. T : R 3 ⟶ R 3 ,   T x , y , z = x , - 2 x - y , 2 x + y + 2 z

Passo 1

Letra a)

Para calcular os autovalores precisamos de uma matriz, então vamos achar a matriz que representa T na base canônica:

T 1,0 = 1 , - 1

T 0,1 = 2,4

Como se trata de uma base canônica, não precisamos reescrever nas coordenadas dela:

T ε = 1 2 - 1 4

T ε - λ I = 1 - λ 2 - 1 4 - λ

det ⁡ T ε - λ I = 1 - λ 4 - λ + 2

Fazendo:

1 - λ 4 - λ + 2 = 0 ⇒

4 - λ - 4 λ + λ 2 + 2 = 0 ⇒

λ 2 - 5 λ + 6 = 0 ⇒

λ = 2   e   λ = 3

Passo 2

Calculando os autovetores.

Para λ = 2

T ε - λ I u ε = 0 ⇒

- 1 2 - 1 2 ⋅ x y = 0 ⇒

- x + 2 y = 0 ⇒ x = 2 y - x + 2 y = 0

2 y , y = y 2,1 ∴

V λ = 2 = s p a n { 2,1 }

Para λ = 3 :

T ε - λ I u ε = 0 ⇒

- 2 2 - 1 1 ⋅ x y = 0 ⇒

- 2 x + 2 y = 0 - x + y = 0 ⇒ x = y

y , y = y 1,1 ⇒

V λ = 3 = s p a n { 1,1 }

Passo 3

Letra b)

É só repetir o que fizemos na letra a), só que para 3 coordeandas:

T 1,0 , 0 = 1 , - 2,2

T 0,1 , 0 = 0 , - 1,1

T 0,0 , 1 = 0,0 , 2

T ε = 1 0 0 - 2 - 1 0 2 1 2

T ε - λ I = 1 - λ 0 0 - 2 - 1 - λ 0 2 1 2 - λ

Como a matriz é triangular inferior, o seu determinante é o produto das diagonais:

det ⁡ T ε - λ I = 1 - λ - 1 - λ 2 - λ

Assim, podemos ver que os autovalores são λ = 1 ,   λ = - 1 ,   λ = 2

Passo 4

Chegou a hora de calcular os autovetores!

Para λ = 1 :

T ε - λ I u ε = 0 ⇒

0 0 0 - 2 - 2 0 2 1 1 ⋅ x y z = 0 ⇒

- 2 x - 2 y = 0 ⇒ y = - x 2 x + y + z = 0 ⇒ 2 x - x + z = 0 ⇒ z = - x

x , - x , - x = x 1 , - 1 , - 1

V λ = 1 = s p a n 1 , - 1 , - 1

Para λ = - 1 :

T ε - λ I u ε = 0 ⇒

2 0 0 - 2 0 0 2 1 3 ⋅ x y z = 0 ⇒

2 x = 0 ⇒ x = 0 - 2 x = 0 2 x + y + 3 z = 0 ⇒ y + 3 z = 0 ⇒ y = - 3 z

0 , - 3 z , z = z 0 , - 3,1

V λ = - 1 = s p a n 0 , - 3,1

Para λ = 2 :

T ε - λ I u ε = 0 ⇒

- 1 0 0 - 2 - 3 0 2 1 0 ⋅ x y z = 0

- x = 0 ⇒ x = 0 - 2 x - 3 y = 0 ⇒ y = 0 2 x + y = 0 ⇒ 0 + 0 = 0

0,0 , z = z 0,0 , 1

V λ = 2 = s p a n 0,0 , 1

Resposta

Letra a)

V λ = 2 = s p a n { 2,1 }

V λ = 3 = s p a n { 1,1 }

Letra b)

V λ = 1 = s p a n 1 , - 1 , - 1

V λ = - 1 = s p a n 0 , - 3,1

V λ = 2 = s p a n 0,0 , 1

Os autovetores, são os respectivos autoespaços, excluindo o vetor nulo.

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 316. – 7

Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T : R 2 → R 2 associados aos vetores próprios u = 2,1 e v = - 1,3 , respectivamente, determinar T 3 u - v

Passo 1

Pela linearidade da transformação, temos que:

T 3 u - v = 3 T u - T v

Além disso, como 2,1 é autovetor associado ao autovalor 4 , temos:

T u = T 2,1 = 4 ∙ 2,1 = 8,4

Por sua vez, como - 1,3 é autovetor associado ao autovalor 2 , temos:

T v = T - 1,3 = - 2,6

Juntando todas essas informações, temos que:

T 3 u - v = 3 T u - T v = 3 ∙ 8,4 - - 2,6 = 24,12 + 2 , - 6 = 26,6

Resposta

26,6

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 316. – 8

Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = 2,1 e triplica o comprimento do vetor v = 1,2 , sem alterar as direções nem inverter os sentidos.

a   Calcular T 0,3

b   Qual a matriz do operador T na base 2,1 , 1,2 ?

Passo 1

a   Sabemos que a transformação T dobra o comprimento do vetor u = 2,1 sem alterar sua direção nem inverter seu sentido. Sendo assim, podemos dizer que 2,1 é autovetor associado ao autovalor 2 . Temos assim:

T u = T 2,1 = 4 , 2

Analogamente, temos que 1,2 é autovetor associado ao autovalor 3 . Temos então:

T v = T 1,2 = 3 , 6

Agora o que temos que fazer é escrevermos 0,3 em função de 2,1 e 1,2 e nos aproveitarmos da linearidade da transformação. Temos:

0,3 = a 2,1 + b 1,2

Logo:

2 a + b = 0 a + 2 b = 3       I I I

De I :

b = - 2 a

Substituindo em I I :

a + 2 - 2 a = 3

a - 4 a = 3

- 3 a = 3

a = - 1

b = 2

Portanto,

0,3 = - 2,1 + 2 1,2

Juntando todas essas informações, temos que:

T 0,3 = T - 2,1 + 2 1,2 = - T 2,1 + 2 T 1,2 = - 4,2 + 2 3 , 6 = 2,10

Passo 2

b   Chamamos a base β = 2,1 , 1,2 . Queremos então, T β . Para isso, basta escrevermos as imagens dos vetores da base β como uma C L da base β . Mas como essa é uma base de autovetores temos o seguinte:

T 2,1 = 4,2 = 2 ∙ 2,1 + 0 ∙ 1,2

T 1,2 = 3,6 = 0 ∙ 2,1 + 3 ∙ 1,2

Logo, nossa matriz fica:

T β = 2 0 0 3

Resposta

a   2,10

b   2 0 0 3

Exercício Resolvido #5

Lista 1 para a P3, exercício 8, 2015.1,Álgebra linear I, PUC-rio.

Mostre que dois autovetores associados a autovalores diferentes são linearmente independentes.

Dica: suponha que não sejam linearmente independentes e tente chegar a alguma contradição.

Passo 1

Vamos usar a dica! Vamos supor então que u 1 ,   u 2 autovetores de T , tal que:

T u 1 = λ 1 u 1

T u 2 = λ 2 u 2

Sendo λ 1 ≠ λ 2 . Se { u 1 ,   u 2 } é L D , então u 1 = a u 2 ,   a ∈ R .

Aplicando T dos dois lados em u 1 = a u 2 :

T u 1 = T a u 2 ⇒

λ 1 u 1 = λ 2 a u 2

Passo 2

Mas sabemos que então a u 2 = u 1 .

λ 1 u 1 = λ 2 u 1 ⇔ λ 1 = λ 2

Mas como λ 1 ≠ λ 2 por hipótese, chegamos numa contradição! Assim, sabemos que { u 1 ,   u 2 } não pode ser L D , então só pode ser L I .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #6

Prob 7.7 do livro Curso de Álgebra Linear – Fundamentos e Aplicações – 3ª ed; Marco Cabral e Paulo Goldfield, 1ª ed.

Suponha que λ é autovalor de A invertível e μ autovalor de B com mesmo autovetor v → .

Determine o autovalor associado ao autovetor v → de:

a   A 2

b   A - 1

c   A B

d   C = a A + b B   c o m   a , b ∈ R

Passo 1

A gente sabe que:

A v → = λ v →

Eu quero saber o autovalor de A 2 .

Multiplicando A dos dois lados:

A ∙ A v → = A λ v →

A 2 v → = λ   A v →

Acontece que A v → = λ v → , lá de cima. Substituindo ali no lado direito da equação:

A 2 v → = λ × λ v →

A 2 v → = λ 2 v →

Então a matriz A 2 pode ser substituída pelo escalar λ 2 na hora de multiplicar por v → , e por causa disso λ 2 é autovalor associado ao vetor v → da matriz A 2 .

Passo 2

A gente sabe que:

A v → = λ v → ( i )

Eu quero saber o autovalor de A - 1 . E agora? Vou chamá-lo de β .

Então β é tal que:

A - 1   v → = β v → ( i i )

Multiplicando a equação ( i ) por A - 1 dos dois lados, vai aparecer:

A - 1 ∙ A v → = A - 1 ∙ λ v →

Mas agente sabe que A ∙ A - 1 = I !!!

I v → = λ × A - 1 v →

Mas I v → = v → , da equação ( i i ) a gente já viu que A - 1 v → = β v → , aí é só substituir:

v → = λ β v →

Como todos sabemos que v → = v → (hehehehe), então:

1 = λ β

β = 1 λ

Então o autovalor da matriz A - 1 é 1 λ .

Passo 3

E o autovalor de A B , qual é?

É só fazer a mesma coisa que já fizemos antes.

Do enunciado, a gente sabe que:

A v → = λ v →     ( i )

B v → = μ v →

Multiplicando A nos dois lados dessa segunda equação, vai ficar:

A ∙ B v → = A ∙ μ v →

A B v → = μ A v →

Substituindo a igual dade eq. ( i ) :

A B v → = μ   λ v →

A B v → = μ λ v →

Então o autovalor da matriz A B é μ λ .

Passo 4

Agora C = a A + b B , e eu quero saber o autovalor de C .

Pega a primeira equação, A v → = λ v → .

Eu quero que apareça pelo menos esse a A , então eu vou multiplicar a dos 2 lados da equação:

a A v → = a λ v →

Vou fazer a mesma coisa com B .

Multiplicando a equação B v → = μ v → dos dois lados por b , fica assim:

b B v → = b μ v →

Agora eu pego essas duas equações e somo:

a A v → + b B v → = a λ v → + b μ v →

a A + b B v → = a λ + b μ v →

C v → = a λ + b μ v →

Ih!

Oia que legal.

O autovalor de C é a λ + b μ ! =D

Resposta

a   λ 2

b   1 λ

c   λ μ

d   a λ + b μ

Exercício Resolvido #7

PUCRIO-P3-2014.1-4

Se T : R n ⟶ R n é uma transformação linear tal que para quaisquer dois vetores u , v ∈ R n satisfaz:

T u , v = u , T v

Se w 1 e w 2 são autovetores associados respectivamente aos autovalores λ 1 e λ 2 com λ 1 ≠ λ 2 , então w 1 e w 2 são ortogonais.

  1. Defina os conceitos que apareçam sublinhados na afirmação anterior.
  2. Prove que dita afirmação é verdadeira.

Passo 1

a   Basta trocar U por R n . Depois faça uma definição para w 1 e λ 1 e outra para w 2 e λ 2 .

Basta trocar u , v por w 1 e w 2 respectivamente.

Passo 2

b   Vamos fazer o produto interno de acordo com o enunciado, só que com os dois autovetores dados.

Desenvolvendo o lado esquerdo:

T w 1 , w 2 = λ 1 w 1 ,   w 2 = λ 1 w 1 , w 2

Desenvolvendo o lado direito:

w 1 , T w 2 = w 1 , λ 2 w 2 = λ 2 w 1 , w 2

Passo 3

Igualando os dois lados:

λ 1 w 1 , w 2 = λ 2 w 1 , w 2 ⇒

λ 1 - λ 2 w 1 , w 2 = 0

Logo ou λ 1 = λ 2 ou w 1 , w 2 = 0 . Como sabemos por hipótese que λ 1 ≠ λ 2 , então

w 1 , w 2 = 0 , o que implica que w 1 , w 2 são ortogonais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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