Autovalores e Autovetores de uma TL
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Já sabemos como calcular os autovetores e autovalores de uma matriz. Mas lembra que toda matriz pode ser representada por uma ? Então, como calcular os autovalores e autovetores de uma ?
Bom, é mais simples do que você imagina. Quando associamos um autovalor ou autovetor a uma matriz, estamos nos referindo a matriz que representa uma transformação indo da base canônica para a canônica.
Primeiramente, podemos reescrever aquela definição que demos de autovetor e autovalor usando transformação no lugar de matriz. No fundo, é a mesma coisa que vimos com matrizes. Se você aplica uma transformação em algum vetor e ela “cospe” um múltiplo do vetor, então esse vetor é um autovetor. E o valor que foi multiplicado por ele é um autovalor. Se liga:
Bom, vamos usar a abaixo como exemplo.
Para encontrarmos seus autovalores primeiramente basta calcular as raízes do polinômio característico. Lembra dele? Esse aqui oh:
Só que agora temos , que é a matriz que representa a transformação na base canônica. Assim sendo:
OBS: Lembre-se que é a matriz identidade e a transformação identidade.
Então, para encontrar os autovalores basta fazer .
Vamos testar para a nossa .
Logo, e !!
E para achar os autovetores?
Como já vimos, podemos usar a forma matricial fazendo:
Ou então podemos usar agora a . Basta fazer:
Vamos usar essa para :
Assim, nossos autovetores são . Que é a mesma coisa que . Era de se esperar que desse infinitos valores, já que temos um autoespaço né?
Agora vamos um método de matrizes para :
Resolvendo o sistema achamos que , e portanto, nossos autovetores são .
Repare que a fórmula usada acima foi basicamente:
Caso você não tenha a matriz na base canônica, é só usar a mesma fórmula acima só que para outra base qualquer:
Tanto o polinômio característico, quanto os autovalores da serão os mesmos. A única coisa que vai mudar é que você não vai encontrar o autovetor direto, e sim as coordenadas do autovetor na base . Preste bastante atenção nisso ;)
Proposições com Autovalores e Autovetores
Bom galera não tem nada novo nesse capítulo. Vamos apenas nos limitar a usar as propriedades de autovalores e autovetores para provar coisas. Vamos ver um exemplo que é o melhor jeito de entendermos.
Sejam e autovetores, definimos com . Temos que e estão associados ao mesmo autovalor . Prove que é autovetor associado a .
Taí o problema que temos que resolver. Vamos dar uma traduzida no que ele quer? Ele quer que a gente prove que, se tivermos dois autovetores associados ao mesmo autovalor , qualquer vetor gerado pela desses dois autovetores também será um autovetor associado à .
Vamos começar a usar as propriedades que conhecemos. Sabemos que e são autovetores de uma matriz, ou de uma . Vamos chamar essa de . Logo, pelo enunciado, temos:
Então queremos que:
Pela linearidade, temos:
Opa, os dois lados da igualdade batem, então está provado ;)
Basicamente é isso aí que você vai fazer. Vamos dar uma praticada nos exercícios!