Formas Bilineares

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de em relação à base .

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os dos vetores da base. Então:

Jogando os números daqui na matriz temos:

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de em relação à base .

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os dos vetores da base. Então:

Jogando os números daqui na matriz temos:

Nenhum mistério no enunciado, precisamos só montar a matriz de em relação à base .

Caso não consiga enxergar diretamente como os números vão para a matriz, pra se garantir você pode usar a definição e achar os dos vetores da base. Então:

Jogando os números daqui na matriz temos:

A ideia aqui é verificar se todo produto interno é uma forma bilinear, precisamos então checar se toda função que obedece aos axiomas de produto interno também obedece aos axiomas de forma bilinear. Caso a resposta sim, a resposta é também positiva.

Assim, queremos sair de:

1.1

1.2

1.3

1.4 , se

1.5

Para chegar em:

2.1

2.2

2.3

2.4

Metade do trabalho já está feita. As propriedades 2.1 e 2.3 saem diretamente de 1.2 e 1.3. Para chegarmos em 2.2 e 2.4 usamos as mesmas equações “dadas” mas agora utilizando a simetria 1.1.

Logo:

O que equivale a 2.2.

Para chegarmos em 2.4, usamos a mesma estratégia:

Assim:

Que equivale a 2.4.

Assim concluímos que todo produto interno é uma forma bilinear.

A ideia agora é verificar se toda função que obedece às propriedades de forma bilinear também cumpre os axiomas de produto interno, ou seja mostrar que podemos sair dessas propriedades:

2.1

2.2

2.3

2.4

Para essas:

1.1

1.2

1.3

1.4 , se

1.5

Vou adiantar pra vocês, a gente não vai fazer a mesma coisa aqui não. Isso porque a afirmação é falsa, mas é nossa tarefa mostrar isso.

O problema está no axioma 1.1, já que nem toda forma bilinear é simétrica. Essas são uma classe especial que serão mostradas depois, então não se desesperem haha.

O jeito mais fácil de mostrar que a afirmação é falsa é através de um contraexemplo, logo vamos procurar uma forma bilinear que não seja simétrica, ou seja, que não obedeça à relação 1.1.

Podemos pegar o exemplo da teoria. Se e , temos .

Vamos tomar e pra ver no que dá.

Logo:

O que contradiz o axioma 1.1. Achamos então uma forma bilinear que não é um produto interno, logo a afirmação é falsa.

Mais um exercício de provar coisas . Dessa vez temos que mostrar que algumas certas funções são formas bilineares, mais especificamente, se forem dadas e bilineares queremos mostrar que e são bilineares também.

Lembrando só que é uma função tal que para todo , temos que e do mesmo jeito .

Então vamos ter que mostrar nossas velhas amigas:

Meio chato mas vamos lá.

Primeiro vamos mostrar que é bilinear.A eq. 1:

Como e são bilineares, as relações 1 e 2, valem para elas separadamente, então:

Como queríamos.

Para a eq. 2 é a mesma coisa:

Pronto, já mostramos que as duas equações valem.

Agora vamos mostrar que é bilinear, para não confundirmos as coisas vamos trocar o por ok?

A eq.1:

Fazendo a didtributiva chegamos no que queremos:

Do mesmo jeito:

Pronto

O enunciado é bem claro, só temos que usar as propriedades das formas bilineares para mostrar a igualdade

Vamos usar a propriedade da linearidade na segunda variável.

Logo temos que:

Pronto. Sacada interessante né.

Vamos só lembrar o que um conjunto precisa pra ser um subespaço vetorial.

• Se , então
• Se e , então

Queremos mostrar que isso vale para

Já vimos em um exercício anterior que para qualquer forma bilinear , .

Então, , pois certamente

Se e, usando as propriedades de uma forma bilinear . Logo , pois

-

Se , usando as propriedades de uma forma bilinear .

Logo , e mostramos tudo o que queríamos

Vamos utilizar a mesma notação do exemplo da teoria. A ideia aqui é mostrar se valem as igualdades:

Checamos se vale a equação 1:

Mas:

Logo não vale a equação 1.

A ideia agora é montar a matriz de em relação a bases diferentes da canônica. Pra isso vamos usar a fórmula que vimos lá na teoria

Então, primeiro vamos achar a matriz na base canônica e depois usar as matrizes de mudança de base para achar as duas matrizes e .

Então temos que mostrar que e são congruentes, isto é que existe uma matriz tal que:

A essa altura a matriz na base canônica é bem direta de se achar né. Mas detalhando o procedimento fica assim:

Jogando os números daqui na matriz temos:

Agora achamos a matriz de mudança de base . Lembrando que é só colocar os vetores de na vertical ela fica assim:

Ainda:

Jogando na fórmula vai ficar:

Agora achamos a matriz de mudança de base . Lembrando que é só colocar os vetores de na vertical ela fica assim:

Ainda:

Jogando na fórmula vai ficar:

- ''

-

Como vamos agora achar uma matriz que resolva nosso problema??

Vamos dar uma olhada na fórmula de mudança de base:

Dando uma mudada de leve a gente pode deixar assim (lembrem-se de como chegamos nela pra sacar que podemos fazer isso):

Então a matriz que procuramos é !!

Pra chegarmos nela vamos lembrar que:

É só seguir as setinhas entre as bases da direita para a esquerda.

Ainda:

Logo:

Vemos então o que dá:

Isso dá:

O que é justamente .

Ufa!!!