Matrizes de Formas Bilineares

Depois dessa contarada toda eu faço o que? Agora é a parte boa! Organiza na matriz, igual essa aqui embaixo

Sendo uma forma bilinear, uma base de e uma base de , dizemos que a matriz de em relação à e é:

Vamos no passo a passo montar a matriz do nosso exemplo! A base canônica do é , logo

Por fim, só colocamos esses números na matriz.

Para fixar bem a ideia. Sendo uma forma bilinear, uma base de e uma base de , dizemos que a matriz de em relação à e é:

Perguntamos então, pra que serve essa matriz? Elementar meu caro Watson, pro mesmo fim que servem as matrizes das transformações lineares: para enxergamos ela de um jeito bonito, pra mexer com a transformação de formas legais e pra calcular os “f’s”.

Pra calcularmos o , sendo a matriz de nas bases e C , fazemos assim:

Então, no nosso exemplo, para calcularmos usando as matrizes fazemos assim:

Montando a matriz em outras bases

Agora, igual nas transformações lineares, estamos interessados em achar a matriz da forma bilinear em outras bases que não a canônica. Pra isso, nós vamos usar nossas amiguinhas as matrizes de mudança de base, que ninguém nunca errou na hora de montar né hahaha. Então, se você tiver visto elas faz algum tempo já, dá uma olhada no nosso material pra dar aquela refrescada na memória e você não confundir na hora da prova.

Em vez de só decorar a forma pra mudar as bases, eu gosto de pensar que estamos só substituindo os vetores, e entendendo como se chega na fórmula (calma que a “demonstração” é bem rapidinha) a gente não erra ela na hora H. Checa só qual é a ideia.

Vamos supor que já sabemos qual é a matriz da forma bilinear nas bases canônicas de cada espaço. Agora queremos achar ela em relação às bases de e de .

Sabemos que:

Além disso, da álgebra de matrizes:

Sendo e Y matrizes quaisquer. Então:

E mais rapidinho:

Então, saindo da fórmula que já conhecemos:

E substituindo as relações que acabamos de ver chegamos que:

Ora, ora, olhando nessa fórmula, vemos que nos “cantos” temos os vetores do jeito que queríamos na base que desejávamos. Então, tudo o que está no meio só pode ser a matriz que estávamos procurando:

Agora, usando o nosso carismático exemplo , vamos achar a matriz dele nas bases e .

Vamos lá:

Então, substituindo na nossa formulinha:

Pronto. Agora vamos treinar essa coisa de montar matrizes.

Formas bilineares simétricas

Essa parte é bem rapidinha galera.

Uma forma bilinear simétrica é tal que , para quaisquer vetores. A única observação aqui é que para uma forma ser simétrica ela tem que ser do tipo , ou seja sair de dois espaços iguais. Só isso.

Mas, e pra checar se uma forma é simétrica? Na real galera, vocês não vão usar a definição. É só lembrar que se uma forma é simétrica, a matriz dela em relação a quaisquer bases também é.

Lembrando só que uma matriz é simétrica se. É só ver se os números opostos em relação à diagonal são iguais. Assim, se:

Então é simétrica, mas se:

Não será simétrica. Simples assim.

Formas Quadráticas

Agora vamos chegando numa parte mais próxima do objetivo final desse assunto, agora começamos a ver os quadrados haha.

Um exemplo de uma forma quadrática é esse aqui:

Isso se parece bastante com a equação de uma elipse né. Calma aí xeroque que jájá a gente chega lá.

Dizemos que uma função , onde é um espaço vetorial, é uma forma quadrática se existe uma forma bilinear tal que .

Uma coisa importante a se dizer desde já é que uma forma quadrática não está associada a uma única forma bilinear, mas uma forma bilinear está associada a uma única forma quadrática. Como assim?

Ora, se pegarmos , fazendo , só podemos achar como a forma quadrática associada. Mas pegando chegamos na mesma forma quadrática. Sacaram?

Entretanto, se quisermos achar uma forma bilinear simétrica associada a uma forma quadrática, ela é única. Então, geralmente nós vamos querer achar a forma simétrica associada à forma quadrática.

Como então podemos sair de uma forma quadrática para a matriz da forma simétrica associada.

A ideia é que os termos com quadrados vão pra diagonal da matriz e os termos mistos são divididos meio a meio. Pra ficar mais claro vejam o caso do :

Se então a matriz da forma bilinear simétrica associada é:

No nosso exemplo fica então:

Podemos querer também, dada uma forma bilinear qualquer, achar a simétrica que tem a mesma quadrática associada.

Se a matriz de é:

Então a matriz de é:

Pra chegar nisso, é só acharmos a quadrática associada a e então usar nosso método para achar a matriz de .