Teorema Núcleo Imagem
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Pra você ter uma ideia da importância desse teorema, ele é conhecido como Teorema Fundamental da Álgebra Linear.
Ta beleza, mas o que esse teorema todo poderoso diz? Bom, ele relaciona as dimensões do núcleo e da imagem com a dimensão do domínio de uma . O que ele diz é o seguinte:
Ou seja, a soma das dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear é exatamente a dimensão do seu domínio (sim, é igual ao que vimos pra matrizes :p)!
Além de, é claro, facilitar MUITO nosso trabalho pra achar a dimensão do núcleo ou da imagem de uma , esse teorema tem implicações muito interessantes.
Por exemplo, lembram daquele macete que eu tinha ensinado pra vocês:
Se as dimensões do domínio e do contra domínio de uma são iguais, então temos que ela é injetiva se for sobrejetiva e vice versa. Isso vem do Teorema Núcleo Imagem!
Seja linear, então se é injetiva, temos que . Pelo TNI, temos que . Opa, se a dimensão da imagem é igual à do contra domínio, então ela é sobrejetiva né!
O caminho inverso também é válido, verifica aí ;)