Teoria

Pra você ter uma ideia da importância desse teorema, ele é conhecido como Teorema Fundamental da Álgebra Linear.

Ta beleza, mas o que esse teorema todo poderoso diz? Bom, ele relaciona as dimensões do núcleo e da imagem com a dimensão do domínio de uma T L . O que ele diz é o seguinte:

Ou seja, a soma das dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear é exatamente a dimensão do seu domínio (sim, é igual ao que vimos pra matrizes :p)!

Além de, é claro, facilitar MUITO nosso trabalho pra achar a dimensão do núcleo ou da imagem de uma T L , esse teorema tem implicações muito interessantes.

Por exemplo, lembram daquele macete que eu tinha ensinado pra vocês:

Se as dimensões do domínio e do contra domínio de uma T L são iguais, então temos que ela é injetiva se for sobrejetiva e vice versa. Isso vem do Teorema Núcleo Imagem!

Seja T : V → V linear, então se T é injetiva, temos que dim ⁡ N u c T = 0 . Pelo TNI, temos que dim ⁡ I m T = dim ⁡ V - dim ⁡ N u c T ⏟ 0 = dim ⁡ V . Opa, se a dimensão da imagem é igual à do contra domínio, então ela é sobrejetiva né!

O caminho inverso também é válido, verifica aí ;)