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Exercícios de Teorema Núcleo Imagem - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Dada a transformação abaixo:

T x , y , z = ( 2 x , 5 y + z , 4 z )

a ache geradores para o núcleo, e calcule sua dimensão;

b verifique se T é injetiva;

c verifique se T é sobrejetiva.

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Questão 2

Explique em cada caso porque não existe uma T L :

a   T : R 4 → R 2 cujo núcleo seja a origem;

b   T : R 4 → R 2 que seja injetiva;

c   T : R 7 → R 6 com dim ⁡ N u c T = dim ⁡ I m T ;

d   T : R 4 → R 3 com N u c T = 1,0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 e I m T = 1,1 , 2 , 2,2 , 4

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Questão 3

Sejam T   : R n ⟶ R m e S   : R m ⟶ R k duas transformações lineares injetivas. Mostre que n ≤ m ≤ k .

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Questão 4

Dado v = x 0 y 0 z 0 ∈ M 3 × 1 fixo, a transformação T : M 3 × 3 ⟶ M 3 × 1 dada por T A = A v é linear. Existe algum v tal que T seja injetiva ?

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Questão 5

Foi perguntado a Vininho se a seguinte proposição é verdadeira:

Se uma transformação linear é injetiva, então ela é sobrejetiva.

E ele respondeu:

“Sim, pois pelo Teorema do Núcleo-Imagem:

dim ⁡ N u c T + d i m ( I m T ) = dim ⁡ D o m T

E como T é injetiva:

dim ⁡ N u c T = 0

Portanto:

d i m ( I m T ) = d i m ⁡ ( D o m T )

Assim, podemos ver que ela é sobrejetiva.”

Qual foi o erro de Vininho? E responda se a proposição é verdadeira ou falsa, e caso seja falsa adicione uma hipótese para que torne a proposição verdadeira.

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Questão 6

Considere a matriz A =   1 - 1 2 3 e a transformação linear T : M 2 R   → M 2 ( R ) definida por T X = X A - A X , para todo X ∈ M 2 ( R ) . Nessas condições, dim ⁡ I m ( T )   é   i g u a l   a :

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Questão 7

Sejam T   : R n ⟶ R m e S   : R m ⟶ R k duas transformações lineares injetivas.

( a ) Mostre que n ≤ m ≤ k .

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Questão 8

b Pode ser exibido um operador linear T : R 2015 → R 2015 tal que K e r T = I m T ?

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Questão 9

Uma transformação linear T : E ⟶ E é chamada de projeção quando T ∘ T = T , e simetria quando T ∘ T = I d (Onde I d é a transformação identidade)

( a ) Determine se as transformações abaixo são projeções ou simetrias:

T 1 : R 2 ⟶ R 2 dada por T 1 x , y = ( y , x )

T 2 : P 2 ⟶ P 2 dada por T 2 a + b . X + c . X 2 = a + c . X 2

( b ) Seja P : E ⟶ E uma projeção. Mostre que a transformação linear S : E ⟶ E dada por S v = 2 P v - v é uma simetria.

( c ) Mostre que se P : E ⟶ E é uma projeção, então ∀ v ∈ E , v - P v ∈ N u c ( P ) .

( d ) Seja P : E ⟶ E uma projeção. Mostre que se v ∈ I m ( P ) , então v = P ( v ) .

( e ) Supondo que E tenha dimensão finita, mostre que para toda projeção P temos E = N u c P ⊕ I m ( P )

Dica: Observe que todo v ∈ E pode ser escrito como v = v - P v + P ( v ) .

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Questão 10

Seja T : R 9 → R 2 uma transformação linear sobrejetiva. Assinale a resposta correta:

a   A dimensão do núcleo de T é 6 .

b A dimensão do núcleo de T é 8 .

c   A dimensão do núcleo de T é 7 .

d   T é injetiva.

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Questão 11

Sejam T : E ⟶ F uma transformação linear, β = { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } uma base de E e γ = { w 1 , w 2 , w 3 } uma base de F . Suponha que:

T γ ← β = 1 2 0 0 2 1 2 0 0 0 0 1

a   Enuncie o teorema do Núcleo-Imagem.

b   Usando o teorema do Núcleo-Imagem, determine se T é injetiva.

c   Exiba uma base para o núcleo e uma base para a imagem de T .

Observe que os geradores serão escritos em função dos vetores das bases β e γ

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Questão 12

Seja M 2 X 2 o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas.

Considere a aplicação   T :   M 2 X 2 → R 2 dada por   T a   c b d = a + c ,   b + d .

c) Determine uma base de Im(T) (Imagem de T).

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Questão 13

B é uma 10 × 4 cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a 3 . Qual é a dimensão do Núcleo de B ?

  1. 2 .
  2. 3 .
  3. 1 .
  4. 7 .

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Questão 14

Seja A uma matriz 3 × 3 . Considere as afirmativas:

  1. dim ⁡ ( N ú c l e o A ) pode ser maior do que dim ⁡ I m a g e m A .
  2. dim ⁡ N ú c l e o A   pode ser igual a dim ⁡ I m a g e m A .
  1. (I) é falsa e (II) é falsa.
  2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  3. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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Questão 15

Considere T : R 4 → R 3 definida por T x ,   y ,   z ,   w = 5 y + x + w ,   - 2 z + y - 3 w ,   2 z + 9 y + 2 x + 5 w . Então a dimensão da imagem de T menos a dimensão do núcleo de T vale:

  1. 1 .
  2. 3 .
  3. 0 .
  4. 2 .

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Questão 16

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique:

a) Existe transformação linear T : R 5 ⟶ R 2 cujo núcleo é dado por ker ⁡ T = { x 1 , … ,   x 5 ∈ R 5 ; x 1 = 3 x 2   e   x 3 = x 4 = x 5 }

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Questão 17

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique:

a) Se a tranformação linear T : R 2 ⟶ R 2 para as bases de R 2   α = { 0,1 , 1,0 } e β = { - 1,1 , 1,1 } tem T β α = 2 - 1 - 4 3 . Então T 1,2 = 3 , - 5 .

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Questão 18

Seja β = { 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 } uma base de um subespaço U de R 4 e seja W o subespaço gerado por w 1 = ( 1 ,   0 ,   0 ,   1 ) , w 2 = ( 0 ,   - 1 ,   0 ,   - 1 ) e w 3 = ( 1 ,   - 2 ,   0 ,   - 1 ) .

a) Determine uma base para W .

b) Determine uma base para U + W .

c) A soma U + W é direta? Justifique.

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Questão 19

Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique sua decisão.

  1. Existe uma transformação linear T : R 2 → R 2 tal que 1 , - 1 é autovetor associado ao autovalor λ = 2 , T 1,2 = 2,3 e T 2,1 = 4 , - 1 .
  2. Existe uma transformação linear injetora T : M 2,2 → R 3 .
  3. Se α é uma base de R 2 , β é uma base de P 1 , T : R 2 → P 1 e S : P 1 → R 2 são tais que

T β α = 1 0 1 2                     S α β = 1 2 1 1

Então L = S ∘ T : R 2 → R 2 é invertível (Obs. L v = S T v ).

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Questão 20

Considere as seguintes afirmações:

  1. Existe uma transformação linear T : R 8 → R 5 que é sobrejetiva.
  2. Existe uma transformação linear T : R 8 → R 5 tal que a dimensão do núcleo seja igual à da imagem.

Qual das opções abaixo é a CORRETA?

a   A afirmativa I é falsa e I I é falsa

b   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira

c   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa

d A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira

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Questão 21

Seja T : R 7 → R 3 uma transformação linear sobrejetiva. Então:

a   dim ⁡ N T = 3

b dim ⁡ N T = 4

c   dim ⁡ N T = 2

d   dim ⁡ N T = 0

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Questão 22

Considere T : R 4 → R 4 ,   T x , y , z , w = x + 2 y + z + w , y + 2 z + w , z , x + 2 y + z + 2 w .

a Mostre que T é injetiva.

b Por que a e o Teorema do Núcleo e da Imagem implicam que T é um isomorfismo? Justifique.

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Questão 23

Considere a transformação T : P 3 → M 2 × 2 que associa:

a + b x + c x 2 + d x 3 → a + b c d a - b

a Determine se a transformação é sobrejetora. Justifique sua resposta.

b Determine se a transformação é injetora. Justifique sua resposta.

c De termine se a transformação é inversível. Caso positivo, determine sua inversa. Justifique sua resposta:

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Questão 24

Classifique as afirmativas abaixo onde A   é uma matriz tal que dim ⁡ N A < dim ⁡ N A T :

  1. A não pode ser injetiva.
  2. A não pode ser sobrejetiva.
  1. I é verdadeira e II é falsa
  2. Ambas são falsas
  3. I é fala e II é verdadeira
  4. Ambas são verdadeiras

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Questão 25

Seja T : R 3 → R 2 uma transformação linear tal que T 1 , 2,3 = 2,3 e T 3,2 , 1 = 2,1 . Todas as afirmativas abaixo são necessariamente verdadeiras, à exceção de:

a   T 1,1 , 1 = 1,1

b   T não é injetiva.

c   T 1 , - 2,1 = - 2,1

d   T é sobrejetiva.

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Questão 26

Seja P n = p     p é polinômio de grau ≤ n } ,

e seja T a transformação linear:

T : P 2 ↦ P 3   p ↦ x - 1 p

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

( a ) T não é linear

( b ) O núcleo de T tem dimensão 3

( c ) A imagem de T tem dimensão 1

( d ) A imagem de T tem dimensão 3

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Questão 27

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa.

  1. Seja T : P 1 ( R ) → R 2 dada por T a + b x = a - b , a + b . Então T é linear.
  2. Seja T : V → W   uma transformação linear. Se dim ⁡ V > dim ⁡ W ,   então T não pode ser transformação injetora.
  3. Sejam V um espaço vetorial, α = v 1 , v 2 , v 3 e β = w 1 , w 2 , w 3 bases de V . Existe operador T : V → V linear que é isomorfismo tal que a matriz [ T ] β α = 1 1 1 - 1 0 - 1 0 1 0 .

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Questão 28

Considere as seguintes afirmações:

I Existe uma transformação linear T : R 13 → R 17 que seja injetiva.

I I Existe uma transformação linear T : R 18 → R 12 que seja sobrejetiva.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

a   A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

b   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

c   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

d   A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

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Questão 29

Sejam v 1 , v 2 , v 3 um subconjunto L I de R 4 , e T : R 4 → R k uma transformação linear. Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. Se T v 1 , T v 2 , T v 3 é L I então podemos concluir que T é injetiva.
  2. Se T v 1 , T v 2 , T v 3 é L D então podemos concluir que a dimensão da imagem de T é no máximo 2 .

a   I é falsa e I I é verdadeira

b   Ambas são verdadeiras

c   I é verdadeira e I I é falsa

d   Ambas são falsas

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Questão 30

Considere a transformação linear T : R ³ → M 2 X 2 dada por:

T x , y , z =   a x + y x + y - z 0 z

a) Determine os valores de a para os quais T   é injetora.

b) Para a = 0 . T   é sobrejetora? T é bijetora? Justifique.

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Questão 31

c Existe transformação linear T : M 200 × 10 → R 2001 que seja sobrejetora?

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Questão 32

Escolha exatamente três das afirmações abaixo e verifique se cada uma delas é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.

(c) Seja T : V → W uma transformação linear. Se dim ⁡ V = 4 , dim ⁡ W = 6 e dim ⁡ ker ⁡ T = 2 , então dim ⁡ I m T = 4 .

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Questão 33

Considere a transformação linear T : R 4 → R 3 dada por:

T x , y , z , w = ( x + y + z , - 2 y + 4 z , - x - 4 y )

(a) T é injetora? Justifique.

(b) T é sobrejetora? T é bijetora? Justifique. Calcular uma base da imagem de T.

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Questão 34

Seja T : R 3 → R 4 , definida por T ( x ,   y ,   z ) = ( x + 5 y ,     x - 3 z ,     y ,     x + z ) .

A) Determine a matriz canônica de T .

B) T é injetora?

C) T é sobrejetora?

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Questão 35

Seja T uma transformação linear de R n em R k .

Se k < n , assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   T nunca será injetora

b   T sempre será sobrejetora

c   T sempre será bijetora

d   T nunca será sobrejetora

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Questão 36

Considere as seguintes afirmações:

I A transformação H : A → A T que leva uma matriz na sua transposta é linear.

I I Não existe transformação linear T : R 8 → R 5 que seja sobrejetiva.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

a   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

b   A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

c   A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

d   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

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Questão 37

Seja T : R 4 → R 7 uma transformação linear. Se a imagem de T tem dimensão 1, qual é a dimensão do núcleo de T?

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

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Questão 38

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

(b) O núcleo Ker(T) de uma transformação linear T : P 4 → R 3 tem dimensão ≥ 2.

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Questão 39

Considere a transformação linear T : P 2 → R 3 dada pela fórmula

T a + b t + c t 2 = a + b , c - b , 2 a

b Determine uma base para no Núcleo ker ⁡ T   o u   N T e uma base para a Imagem I m T da transformação.

c T é injetora?

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Questão 40

Seja p ∈ P 2 R . Considere a transformação linear T : P 2 R → P 2 R dada por T p = x 2 p ' ' . Indique a resposta correta. (Abaixo, usamos a notação S p a n v 1 , … , v k para indicar o espaço gerado pelos vetores v 1 , … , v k . )

a   N u c T = S p a n 1 , x ,   I m T = S p a n x 2 .

b   N u c T = S p a n 1 ,   I m T = S p a n x , x 2 .

c   N u c T = S p a n 1,1 + x ,   I m T = S p a n x , x 2 .

d   N u c T = S p a n x , x 2 ,   I m T = S p a n 1 .

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