Ache um vetor de norma 1, ortogonal a vec u = ( 1 , - 3,1 ) e a vec v = ( - 3,3 , 3 ) .

Passo 1

Fala, galera! Nessa questão precisamos achar um vetor que chamaremos de vec w = a vec i + b vec j + c vec k . Para descobrirmos cada componente é preciso construir o seguinte sistema:

i) norma 1: vec | w | = 1 => sqrt(a^2 + b^(2 ) + c^2) = 1

ii) ortogonal a vec u : vec w * vec u = 0 => a . 1 + b . ( - 3 ) + c . 1 = 0 => a - 3 b + c = 0

iii) ortogonal a vec v : vec w * vec v = 0 => a . ( - 3 ) + b . 3 + c . 3 = 0 => - 3 a + 3 b + 3 c = 0

Passo 2

Nossa missão é achar os valores de a , b e c e, para isso, começaremos somando ii) + iii):

a + ( - 3 a ) - 3 b + 3 b + c + 3 c = 0 => - 2 a + 4 c = 0 => a = 2 c

Agora, substituiremos o resultado acima em ii):

( 2 c ) - 3 b + c = 0 => 3 c - 3 b = 0 => b = c

Por fim, substituímos os dois valores encontrados nesse passo ao item i). Assim,

sqrt(a^2 + b^(2 ) + c^2) = 1 => ( 2 c )^2 + ( c )^2 + c^(2 ) = 1 => 6 c^2 = 1 => c = (1)/(sqrt(6))^() ,

onde elevamos ambos os lados ao quadrado para a remoção da raiz e pegamos apenas o valor positivo para c .

Passo 3

Pronto, depois de vários passos, precisamos apenas substituir o valor de c em a e b . Daí,

a = 2 c = 2 . (1)/(sqrt(6)) = (2)/(sqrt(6)) e b = c = (1)/(sqrt(6)) .

Logo, o vetor vec w = ( a , b , c ) será: vec w = (1)/(sqrt(6)) ( 2,1 , 1 ) .

Resposta

(1)/(sqrt(6)) ( 2,1 , 1 )

Exercícios de Livros Relacionados