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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 28

Sabendo que vec u + vec v + vec w = vec 0 , ‖vec u‖ = 3 // 2 , ‖vec v‖ = 1 // 2 e ‖vec w‖ = 2 , calcule vec u * vec v + vec v * vec w + vec w * vec u .

Passo 1

Nesse questão o enunciado fornece três vetores cuja soma é o vetor nulo e seus módulos. A sacada para resolver o problema é a seguinte:

Seja vec t = vec u + vec v + vec w = vec 0 . Assim,

vec t * vec t = (vec u + vec v + vec w) * (vec u + vec v + vec w) = 0

Desenvolvendo:

vec u * vec u + vec v * vec v + vec w * vec w + 2 vec u * vec v + 2 vec u * vec w + 2 vec v * vec w = 0

Portanto,

‖vec u‖^2 + ‖vec v‖^2 + ‖vec w‖^2 + 2 (vec u * vec v + vec v * vec w + vec w * vec u) = 0

Passo 2

O termo entre pareteses é exatamente o que queremos! Substituindo as normas:

((3)/(2))^2 + ((1)/(2))^2 + 2^2 + 2 (vec u * vec v + vec v * vec w + vec w * vec u) = 0

Assim,

2 (vec u * vec v + vec v * vec w + vec w * vec u) = - (9)/(4) - (1)/(4) - 4 = - (5)/(2) - 4 = - (13)/(2)

Portanto,

vec u * vec v + vec v * vec w + vec w * vec u = - (13)/(4)

Resposta

vec u * vec v + vec v * vec w + vec w * vec u = - (13)/(4)

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