Ache a projeção ortogonal de v →   =   ( 1 , - 2,3 ) na direção de um eixo que forma ângulos iguais com os vetores da base ortonormal B   =   ( i → , j → , k → ) .

Passo 1

Temos um vetor genérico u →   =   ( a , b , c ) que forma ângulos iguais com os vetores da base ortonormal B   =   ( i → , j → , k → )

c o s   α   =   u →   ⋅ i → | u → | | i → |

⇒   u →   ⋅ i → | u → | | i → |   =   u →   ⋅ j → | u → | | j → | =   u →   ⋅ k → | u → | | k → |   ⇒ a | u → |   =   b | u → | =   c | u → | |   ⇒ a = b = c     ,

Então, temos que o vetor genérico será: u →   =   a ( 1,1 , 1 ) .

Passo 2

A projeção de um vetor v → na direção de um vetor u → é dada pela fórmula:

p r o j u v → = v → ⋅ u → | u | → 2 u →

Daí, substituindo os valores:

p r o j u v → = v → ⋅ u → | u | → 2 u →     = ( 1 , - 2,3 ) ⋅ a ( 1,1 , 1 ) a 2 ( 1 2 + 1 2 + 1 2 ) a ( 1,1 , 1 )   = 1   - 2   +   3 3 a 2 a 2 ( 1,1 , 1 )   = 2 3 ( 1,1 , 1 )  

Logo,

p r o j u v →   =   2 3 ( 1,1 , 1 ) .

Resposta

p r o j u v →   =   2 3 ( 1,1 , 1 ) .

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