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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 17

Ache a projeção ortogonal de v →   =   ( 1 , - 2,3 ) na direção de um eixo que forma ângulos iguais com os vetores da base ortonormal B   =   ( i → , j → , k → ) .

Passo 1

Temos um vetor genérico u →   =   ( a , b , c ) que forma ângulos iguais com os vetores da base ortonormal B   =   ( i → , j → , k → )

c o s   α   =   u →   ⋅ i → | u → | | i → |

⇒   u →   ⋅ i → | u → | | i → |   =   u →   ⋅ j → | u → | | j → | =   u →   ⋅ k → | u → | | k → |   ⇒ a | u → |   =   b | u → | =   c | u → | |   ⇒ a = b = c     ,

Então, temos que o vetor genérico será: u →   =   a ( 1,1 , 1 ) .

Passo 2

A projeção de um vetor v → na direção de um vetor u → é dada pela fórmula:

p r o j u v → = v → ⋅ u → | u | → 2 u →

Daí, substituindo os valores:

p r o j u v → = v → ⋅ u → | u | → 2 u →     = ( 1 , - 2,3 ) ⋅ a ( 1,1 , 1 ) a 2 ( 1 2 + 1 2 + 1 2 ) a ( 1,1 , 1 )   = 1   - 2   +   3 3 a 2 a 2 ( 1,1 , 1 )   = 2 3 ( 1,1 , 1 )  

Logo,

p r o j u v →   =   2 3 ( 1,1 , 1 ) .

Resposta

p r o j u v →   =   2 3 ( 1,1 , 1 ) .

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Prove que:a) 4 u → ⋅ v → = u → + v → 2 - u → - v → 2 b) u → ⋅ v → = 0 ⇔ u → + v → = u → + v → c) as diagonais de um paralelogramo têm comprimentos iguais se, e somente se, o paralelograma é um retângu
Prove que:a) u → + v → 2 + u → - v → 2 = 2( u → 2 + v → 2 ) b) a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrado dos comprimentos dos quatro lados;c)
Prove que duas arestas opostas quaisquer de um tetraedro regular são ortogonais.
Prove que as coordenadas de qualquer vetor u → na base ortonormal B = i → ,j → ,k → são iguais aos produtos escalares de u → por i → , j → e k → , ou seja: u → = u → ⋅ i →i → + u → ⋅ j →j → + u → ⋅ k
Sejam, em relação a uma base ortonormal, u → = ( 1 ,1 ,- 1 ) / 3 , v → = ( 0 ,1 ,1 ) / 2 , w → = ( 2 ,- 1 ,1 ) / 6 e a → = ( 3 ,- 2 ,- 1 ) . Prove que ( u → ,v → ,w → ) é base ortonormal e calcule as