Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 24b
Em cada parte, calcule a potência indicada de
Passo 1
A questão nos dá a seguinte matriz:
Essa é uma matriz triangular então podemos extrair os autovalores diretamente da diagonal principal. Os autovalores são:
Passo 2
Vamos calcular os autovetores:
- Para
- Para
O autovetor é:
A base do autovetor é:
O autovetor é:
Como temos duas variáveis independes, podemos separar em dois autovetores:
Então os autovetores são:
A base do autovetor é:
Passo 3
A matriz é:
E a matriz diagonal é dada pela diagonal de autovalores:
Passo 4
Vamos inverter a matriz P por Eliminação Gaussiana:
Vamos dividir a segunda linha por e multiplicar a terceira linha por .
Trocamos a segunda e a terceira linha de lugar:
Vamos somar a terceira linha na segunda:
E agora pegamos a segunda linha, multiplicamos por subtraímos na primeira linha
A inversa é:
Passo 5
Item A)
O método diz que:
Então vamos aplicar:
Como a matriz é diagonal podemos colocar a potência dentro da matriz:
Efetuando as multiplicações matriciais
Chegamos na resposta