Enunciado

Esse problema conduziu uma prova do fato de que a multiplicacidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho n × n é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha que λ 0 , seja um autovalor de multiplicidade geométrica k

  1. Prove que existe alguma base B = { u 1 → ,   u 2 → , … ,   u n → } de R n na qual os primeiros k vetores formam uma base do auto espaço associado a λ 0
  2. Seja P   a matriz cujos vetores coluna são os vetores de B. Prove que produto AP pode ser dado por [Sugestão: compare os k primeiros caracteres da coluna de ambos os lados.]
  3. A P = P λ 0 I k X 0 Y

  4. Use o resultado da parte (b) para provar que A é semelhante a
  5. C = λ 0 I k X 0 Y

    a e que, portanto, A e C têm o mesmo polinômio característico

  6. Considerando  det ⁡ λ I - C ,   prove que o polinômio característico de C (e, portanto, de A) contém o fator ( λ - λ 0 ) pelo menos k vezes, provando, assim, que a multiplicidade algébrica de λ 0 é maior do que ou igual à multiplicade geométrica k

Passo 1

Nesse primeiro passo, vamos seguir as instruções da questão.

Vamos montar uma matriz P que é composta pelos vetores u →

P = u 1 → u 2 → ⋯ u n →

E montar a nossa matriz A de tamanho n × n :

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

Passo 2

Vamos expandir P :

P = u 1 → u 2 → ⋯ u k → ⋯ u n →  

Por conveniência vamos dizer que de u 1 → até u k → é P 1 , e de u k → em diante é P 2

P 1 = u 1 → u 2 → ⋯ u k →

P 2 = u k + 1 → u k + 2 → ⋯ u n →

Logo:

P = [ P 1 P 2 ]

Passo 3

Agora vamos pensar uma matriz C:

A P = P C

Vamos aplicar os valores:

A P 1 P 2 = [ P 1 P 2 ] C 11 C 12 C 21 C 22

E vamos efetuar as multiplicações vetoriais. Perceba que A P 1 = λ 0 P 1

λ 0 P 1 A P 2 = P 1 C 11 + P 2 C 21 P 1 C 12 + P 2 C 22

Comparando as colunas:

P 1 C 11 + P 2 C 21 = λ 0 P 1 P 1 C 12 + P 2 C 22 = A P 2

Vamos olhar a primeira equação:

P 1 C 21 + P 2 C 21 = λ 0 P 1

Para que isso seja possível temos que igualar os termos:

P 1 C 11 = λ 0 P 1

P 2 C 21 = 0

Concluímos que:

C 11 = λ 0 I k

C 21 = 0

Olhando para a segunda equação não é possível chegar a nenhuma conclusão. Então vamos dizer que:

P 1 C 12 + P 2 C 22 = A P 2

C 21 = X C 22 = Y

Logo:

A P = P λ I k X 0 Y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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