Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 34b
Esse problema conduziu uma prova do fato de que a multiplicacidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha que , seja um autovalor de multiplicidade geométrica k
- Prove que existe alguma base de na qual os primeiros vetores formam uma base do auto espaço associado a
- Seja a matriz cujos vetores coluna são os vetores de B. Prove que produto AP pode ser dado por [Sugestão: compare os primeiros caracteres da coluna de ambos os lados.]
- Use o resultado da parte (b) para provar que A é semelhante a
- Considerandoprove que o polinômio característico de C (e, portanto, de A) contém o fator pelo menos vezes, provando, assim, que a multiplicidade algébrica de é maior do que ou igual à multiplicade geométrica
a e que, portanto, A e C têm o mesmo polinômio característico
Passo 1
Nesse primeiro passo, vamos seguir as instruções da questão.
Vamos montar uma matriz que é composta pelos vetores
E montar a nossa matriz de tamanho :
Passo 2
Vamos expandir :
Por conveniência vamos dizer que de até é , e de em diante é
Logo:
Passo 3
Agora vamos pensar uma matriz C:
Vamos aplicar os valores:
E vamos efetuar as multiplicações vetoriais. Perceba que
Comparando as colunas:
Vamos olhar a primeira equação:
Para que isso seja possível temos que igualar os termos:
Concluímos que:
Olhando para a segunda equação não é possível chegar a nenhuma conclusão. Então vamos dizer que:
Logo:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)