Esse problema conduziu uma prova do fato de que a multiplicacidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha que , seja um autovalor de multiplicidade geométrica k

1. Prove que existe alguma base de na qual os primeiros vetores formam uma base do auto espaço associado a
2. Seja a matriz cujos vetores coluna são os vetores de B. Prove que produto AP pode ser dado por [Sugestão: compare os primeiros caracteres da coluna de ambos os lados.]
3. Use o resultado da parte (b) para provar que A é semelhante a

a e que, portanto, A e C têm o mesmo polinômio característico

4. Considerandoprove que o polinômio característico de C (e, portanto, de A) contém o fator pelo menos vezes, provando, assim, que a multiplicidade algébrica de é maior do que ou igual à multiplicade geométrica

Vamos expandir :

Por conveniência vamos dizer que de até é , e de em diante é

Logo:

Agora vamos pensar uma matriz C:

Vamos aplicar os valores:

E vamos efetuar as multiplicações vetoriais. Perceba que

Comparando as colunas:

Vamos olhar a primeira equação:

Para que isso seja possível temos que igualar os termos:

Concluímos que:

Olhando para a segunda equação não é possível chegar a nenhuma conclusão. Então vamos dizer que:

Logo: