Esse problema conduziu uma prova do fato de que a multiplicacidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha que , seja um autovalor de multiplicidade geométrica k

1. Prove que existe alguma base de na qual os primeiros vetores formam uma base do auto espaço associado a
2. Seja a matriz cujos vetores coluna são os vetores de B. Prove que produto AP pode ser dado por [Sugestão: compare os primeiros caracteres da coluna de ambos os lados.]
3. Use o resultado da parte (b) para provar que A é semelhante a

a e que, portanto, A e C têm o mesmo polinômio característico

4. Considerandoprove que o polinômio característico de C (e, portanto, de A) contém o fator pelo menos vezes, provando, assim, que a multiplicidade algébrica de é maior do que ou igual à multiplicade geométrica

Agora vamos expandir o determinante:

Resolvendo o determinante:

é a matriz identidade com dimensão . Contudo, todos os valores da diagonal são compostos por . Ou seja, quando calcularmos o determinante de , a expressão será multiplicada vezes:

A expressão acima garante que a multiplicidade mínima de é . Já que não podemos afirmar nada sobre , então é possível que dentro deste determinante o autovalor possa se repetir mais algumas vezes.

Ao mesmo tempo, sabemos que tem exatamente autovetores.

Ou seja, é possível que se repita mais do que vezes, mas o seu número de autovetores sempre será .

E isso demonstra que a multiplicidade algébrica de um autovalor é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica.