Esse problema conduz a uma prova do fato de que a multiplicidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha que , seja um autovalor de multiplicidade geométrica k

1. Prove que existe alguma base de na qual os primeiros vetores formam uma base do auto espaço associado a
2. Seja a matriz cujos vetores coluna são os vetores de B. Prove que produto AP pode ser dado por [Sugestão: compare os primeiros caracteres da coluna de ambos os lados.]
3. Use o resultado da parte (b) para provar que A é semelhante a

a e que, portanto, A e C têm o mesmo polinômio característico

4. Considerandoprove que o polinômio característico de C (e, portanto, de A) contém o fator pelo menos vezes, provando, assim, que a multiplicidade algébrica de é maior do que ou igual à multiplicade geométrica

A questão está nos pedindo para provar o Teorema 5.2.5;

Primeiro, vamos seguir as informações da questão.

Nós temos uma matriz de dimensão

E quando calcularmos os autovalores dessa matriz, vamos encontrar um autovalor que se repete vezes:

Cada autovalor deve estar associado a um autovetor , então, já que aparece vezes, ele dever estar associado à autovetores:

Logo:

Se todos estes autovetores formam a base dos autoespaços associados aos autovalores. E por isso são linearmente independentes entre si.

Então, nós possuímos autovetores de dimensão que são linearmente independentes entre si. E no Capítulo do livro aprendemos que um conjunto de vetores, com dimensão linearmente independentes formam uma base do espaço vetorial

Isso quer dizer que podemos agrupar todos os autovalores em um conjunto e este conjunto será uma base de . Como a ordem dos autovetores não importa, então podemos organizar o conjunto com os primeiros vetores sendo os autovetores de