Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz que diagonaliza ortogonalmente e determine .

Primeiro vamos fazer o autovalor:

Retornando para:

Substituindo os valores:

Reescrevendo:

Então, temos:

Calculando o determinante, lembrando que para uma matriz , multiplicamos os elementos da diagonal principal e subtraímos do resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária.

Determinando os autoespaços:

Onde:

Calculando:

Retornando em:

Determinando os autovetores:

Onde:

Logo:

Como já temos :

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar .

Para :

Montando em forma de sistema, temos:

Temos que:

Escrevendo:

Colocando em evidência, temos:

Temos que o valor de autovetor é:

Para :

Montando em forma de sistema, temos:

Temos que:

Escrevendo:

Colocando em evidência, temos:

Temos que o valor de autovetor é:

Agora vamos normalizar os autovetores:

Podemos reorganizar a fração :

Podemos reorganizar a fração :

Para escrever , colocamos os autovetores normalizados que diagonaliza ortogonalmente em colunas:

Determinando .

Primeiro vamos determinar , considerando ser uma matriz ortogonal:

Retornando para:

E como é ortogonal, então:

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os:

e

Calculando: