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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 1.4

Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis.

4 )   T : R 3 → R 3 : T x , y , z = ( x + y , x - y + 2 z ,   2 x + y - z )

Passo 1

Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem n e acharmos n autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?

Vamos começar escrevendo a matriz da transformação.

T x , y , z = ( x + y , x - y + 2 z ,   2 x + y - z )

Então:

T x , y , z = ( 1 x + 1 y + 0 z , 1 x - 1 y + 2 z ,   2 x + 1 y - 1 z )

Daí,

T = 1 1 0 1 - 1 2 2 1 - 1

Passo 2

Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção 6.3 . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de T - λ I . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:

T - λ I v = 0

Com isso a gente vai encontrar os autovetores!

Nessa questão,

1 - λ 1 0 1 - 1 - λ 2 2 1 - 1 - λ = 0

Pela regra de Sarrus:

1 - λ - 1 - λ - 1 - λ + 4 - - 1 - λ - 2 1 - λ = 0

Desenvolvendo, vamos encontrar:

λ 3 + λ 2 - 4 λ - 4 = 0

E então temos três autovalores:

λ = - 2

λ = - 1

λ = 2

Agora a gente substitui cada um e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:

λ = - 2 :   v = - 1,3 ,   - 1

λ = - 1 : v = ( - 2 ,   4 ,   1 )

λ = 1 : v = ( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 3

E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem 3 , e encontramos 3 autovetores distintos e L I , certo? Portanto, a gente pode dizer que o nosso operador é diagonalizável!

Resposta

É diagonalizável.

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