Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 10
Seja um operador linear não-inversível. Os vetores não nulos do núcleo de são vetores próprios? Em caso afirmativo, determinar o valor próprio associado e, em caso negativo, justificar.
Passo 1
Esse é um problema bem simples e puramente teórico, você não vai fazer nenhuma conta!!!
É dado um operador linear não inversível e pergunta-se se os vetores não nulos do núcleo são vetores próprios. Para responde essa pergunta, temos que lembrar o que é núcleo:
O núcleo de um operador linear é o conjunto dos vetores do domínio cuja imagem é o vetor nulo. Desta forma, o núcleo sempre será composto pelo vetor nulo e pode ser composto por outros vetores. São esses vetores que nos interessam!!!
Passo 2
Bom, se , temos que
Assim, podemos escrever essa equação como
Note que é um autovetor de cujo autovalor é . Portanto, os vetores não nulos do núcleo são vetores próprios com autovalor .
Resposta
Os vetores não nulos do núcleo são vetores próprios com autovalor .