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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 6

6. Calcular a projeção do vetor x , y , z ∈ R 3 sobre o sub-espaço gerado por 1,0 , 0 e 0,1 , 0 . Fazer uma figura.

Passo 1

Vamos considerar o sub-espaço gerado W pelos vetores g 1 = 1,0 , 0 e g 2 = 0,1 , 0 .

Então a projeção de u = x , y , z em W vai ser:

p r o j W u = u , g 1 g 1 , g 1 g 1 + u , g 2 g 2 , g 2 g 2

Passo 2

Fazendo so produtos internos:

u , g 1 = x 1 + y 0 + z 0

u , g 1 = x

g 1 , g 1 = 1 2 + 0 2 + 0 2

g 1 , g 1 = 1

u , g 2 = x 0 + y 1 + z 0

u , g 2 = y

g 2 , g 2 = 0 2 + 1 2 + 0 2

g 2 , g 2 = 1

Passo 3

Então a projeção fica:

p r o j W u = x 1 1,0 , 0 + y 1 0,1 , 0

p r o j W u = x , y , 0

Resposta

p r o j W u = x , y , 0

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3. Enunciar rigorosamente e provar: um operador linear do R n preserva os centróides.
4. Tomemos três vetores no R 2 , cujas extremidades formem um triângulo. Qual é o ponto do triângulo que coincide com a extremidade do centróide dos três vetores?
1. Calcular o centróide dos vetores e representar geometricamente: u 1 = 1,2 e u 2 = 2,1 ; u 1 = 1,1 , u 2 = 1,2 , u 3 = 4 , - 1 e u 4 = 2,2 ; u 1 = 1,2 , 1 , u 2 = - 1 , - 2,0 e u 3 = 0,0 , - 1 ; u 1
5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ;