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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 22

Classifique a forma quadrática como positiva, negativa, indefinida, não negativa ou não positiva.

- ( x 1 - x 2 ) 2

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! Vamos resolver juntos! Temos a seguinte equação:

- ( x 1 - x 2 ) 2

- ( x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 )

- x 1 2 + 2 x 1 x 2 - x 2 2

Reescrevendo ela em forma matricial, temos:

x T A x = x 1   x 2   . - 1   1   1   - 1   . x 1   x 2  

Passo 2

Vish! Essa aqui não dá pra tirar os autovalores no olho. Vamos ter que calcular o polinômio característico da matriz A definido como:

d e t d e t   λ I - A = 0  

d e t d e t   λ   0   0   λ   - - 1   1   1   - 1     = 0

d e t λ + 1   - 1   - 1   λ + 1   = 0

λ 2 + 2 λ = 0

λ ( λ + 2 ) = 0

Passo 3

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

λ ( λ + 2 ) = 0

Ficou fácil né galera? Esse polinômio é nulo para os valores 0 e - 2 ! Portanto, os autovalores são:

λ 1 = 0                       λ 2 = - 2

Passo 4

Como podemos observar, os autovalores dessa matriz são λ 1 = 0 e λ 2 = - 2 . O primeiro é nulo e o segundo é negativo, portanto, como a matriz apresenta tanto um autovalor negativo quanto um autovalor nulo, a matriz é negativa semidefinida ou, se preferir chamar assim, não positiva.

Resposta

Portanto, lá vai o gabarito! A matriz A é não positiva.

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em cada parte, expresse a forma quadrática na notação matricial x T A x com uma matriz simétrica A . 5 x 1 2 + 5 x 1 x 2 - 7 x 1 x 2 x 1 2 + x 2 2 - 3 x 3 2 - 5 x 1 x 2 + 9 x 1 x 3