Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 27
Encontre todos os valores de com os quais a forma quadrática positiva.
Passo 1
Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! Ela só assusta, mas vamos resolver juntos! Temos a seguinte forma quadrática:
Para que a forma quadrática acima seja positiva, pelo teorema 7.3.4, o determinante de cada submatriz principal deve ser positivo! Com isso em mente vamos reescrever essa coisa gigantesca na forma matricial:
Passo 2
Tá acabando! Agora vamos aplicar o teorema 7.3.4! Vamos calcular o determinante das submatrizes principais:
Passo 3
Para que o teorema 7.3.4 seja satisfeito, temos que ! Portanto, para todos os determinantes das submatrizes são positivos! Isso quer dizer que, como a matriz apresenta o determinante de cada submatriz principal positivo, a matriz é positiva definida ou, se preferir chamar assim, positiva pelo teorema 7.3.4.
Resposta
Portanto, lá vai o gabarito! A forma quadrática é positiva para !