Encontre todos os valores de k com os quais a forma quadrática positiva.

5 x 1 2 + x 2 2 + k x 3 2 + 4 x 1 x 2 - 2 x 1 x 3 - 2 x 2 x 3

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! Ela só assusta, mas vamos resolver juntos! Temos a seguinte forma quadrática:

5 x 1 2 + x 2 2 + k x 3 2 + 4 x 1 x 2 - 2 x 1 x 3 - 2 x 2 x 3

Para que a forma quadrática acima seja positiva, pelo teorema 7.3.4, o determinante de cada submatriz principal deve ser positivo! Com isso em mente vamos reescrever essa coisa gigantesca na forma matricial:

x T A x = x 1 x 2 x 3 5 2 - 1 2 1 - 2 - 1 - 2 k x 1 x 2 x 3

Passo 2

Tá acabando! Agora vamos aplicar o teorema 7.3.4! Vamos calcular o determinante das submatrizes principais:

5 = 5                     5 2 2 1 = 5 - 4 = 1                     5 2 - 1 2 1 - 2 - 1 - 2 k = k - 2

Passo 3

Para que o teorema 7.3.4 seja satisfeito, temos que k - 2 > 0 ! Portanto, para k > 2 todos os determinantes das submatrizes são positivos! Isso quer dizer que, como a matriz apresenta o determinante de cada submatriz principal positivo, a matriz é positiva definida ou, se preferir chamar assim, positiva pelo teorema 7.3.4.

Resposta

Portanto, lá vai o gabarito! A forma quadrática é positiva para k > 2 !

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