Determine os valores de a   com os quais o sistema x + 2 y + z = 2 2 x - 2 y + 3 z = 1 x + 2 y - a 2 - 3 z = a o sistema

não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.

Passo 1

Para determinarmos uma condição para um sistema, devemos escrevê-lo como uma matriz ampliada a fim de achar uma relação que envolva esse parâmetro.

No caso, a matriz ampliada é:

1 2 1 2 - 2 2 1 3 - a 2 + 3 2 1 a

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

1 2 1 2 - 2 2 1 3 - a 2 + 3 2 1 a → L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - L 1 1 0 0 2 - 6 0 1 1 - a 2 + 2 2 - 3 a - 2

Passo 3

1 0 0 2 - 6 0 1 1 - a 2 + 2 2 - 3 a - 2 → L 2 → - 1 6 L 2 1 0 0 2 1 0 1 - 1 / 6 - a 2 + 2 2 1 / 2 a - 2

Passo 4

Repare que conseguimos isolar o parâmetro a na última linha. Agora, vamos testar as condições para que o sistema tenha uma, nenhuma ou infinitas soluções.

Testaremos o valor de a para zerar o lado esquerdo da equação - a 2 + 2 z = a - 2

Assim, temos os valores 2 e - 2 .

Se a = ± 2   e a ≠ 2 o sistema não possui soluções;

Se a ≠ ± 2   e a ≠ 2 o sistema possui apenas uma solução;

O sistema não pode possuir inifinitas soluções pois não há valores que satistaçam:

- a 2 + 2 = a - 2 = 0

Resposta

Se a = ± 2   e a ≠ 2 o sistema não possui soluções;

Se a ≠ ± 2   e a ≠ 2 o sistema possui apenas uma solução;

O sistema não pode possuir inifinitas soluções.

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