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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 13

Considere a matriz A =   1 1 1 1 1 3 - 2 a 2 2 a - 2 - a - 2 3 a - 1 3 a + 2 - 3 2 a + 1 . Determine o conjunto solução do

sistema A X = B , em que B =   4 3 1 6 t , para todos os valores de a .

Passo 1

E aí galerinha? Vamos ou bora?

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:

1 1 1 1 |   4 1 3 - 2 a |   3 2 2 a - 2 - a - 2 3 a - 1 |   1 3 a + 2 - 3 2 a + 1 |   6

Aplicando a redução de Gauss-Jordan, obtemos:

1 1 1 1 |   4 1 3 - 2 a |   3 2 2 a - 2 - a - 2 3 a - 1 |   1 3 a + 2 - 3 2 a + 1 |   6 → L 2 - L 1 → L 2 1 1 1 1 |             4 0 2 - 3 a - 1 | - 1 2 2 a - 2 - a - 2 3 a - 1 |           1 3 a + 2 - 3 2 a + 1 |           6 → L 3 - 2 L 1 → L 3

1 1 1 1 |             4 0 2 - 3 a - 1 | - 1 0 2 a - 4 - a - 4 3 a - 3 | - 7 3 a + 2 - 3 2 a + 1 |           6 → L 4 - 3 L 1 → L 4 1 1 1 1 |             4 0 2 - 3 a - 1 | - 1 0 2 a - 4 - a - 4 3 a - 3 | - 7 0 a - 1 - 6 2 a - 2 | - 6 → L 2 × ( 1 2 ) → L 2

1 1 1 1 |             4 0 1 - 3 2 a - 1 2 |             - 1 2 0 2 a - 4 - a - 4 3 a - 3 | - 7 0 a - 1 - 6 2 a - 2 | - 6 → L 4 - 3 L 1 → L 4 1 1 1 1 |             4 0 1 - 3 2 a - 1 2 |             - 1 2 0 2 a - 4 - a - 4 3 a - 3 | - 7 0 a - 1 - 6 2 a - 2 | - 6

→ L 3 - ( 2 a - 4 ) L 2 → L 3 1 1 1 1 |                       4 0 1 - 3 2 a - 1 2 |                         - 1 2 0 0 2 a - 10 - a 2 + 6 a - 5 |       a - 9 0 a - 1 - 6 2 a - 2 |             - 6 → L 4 - ( a - 1 ) L 2 → L 4

1 1 1 1 |                       4 0 1 - 3 2 a - 1 2 |                         - 1 2 0 0 2 a - 10 - a 2 + 6 a - 5 |       a - 9 0 0 3 a - 15 2 - a 2 + 6 a - 5 2 |           a - 13 2

Essa é a nossa matriz aumentada, para descobrir o conjunto solução precisamos analisar 3 casos, quando:

  1. - a 2 + 6 a - 5 ≠ 0
  2. a = 1
  3. a = 5

Passo 2

As raízes da equação - a 2 + 6 a - 5 são: a = 1 e a = 5

Nossa solução se divide em 3 casos. Vamos analisar o primeiro.

1.Se - a 2 + 6 a - 5 ≠ 0 , ou seja, a ≠ 1 e a ≠ 5

1 1 1 1 |                       4 0 1 - 3 2 a - 1 2 |                         - 1 2 0 0 2 a - 10 - a 2 + 6 a - 5 |       a - 9 0 0 3 a - 15 2 - a 2 + 6 a - 5 2 |           a - 13 2 → L 3 ( 2 a - 10 ) → L 3 1 1 1 1 |                       4 0 1 - 3 2 a - 1 2 |                         - 1 2 0 0 1 - a + 1 2 |       a - 9 2 a - 10 0 0 3 a - 15 2 - a 2 + 6 a - 5 2 |           a - 13 2

1 1 1 1 |                       4 0 1 - 3 2 a - 1 2 |                         - 1 2 0 0 1 - a + 1 2 |       a - 9 2 a - 10 0 0 3 a - 15 2 - a 2 + 6 a - 5 2 |           a - 13 2 → L 4 - 3 a - 15 2 L 3 → L 4 1 1 1 1 |                       4 0 1 - 3 2 a - 1 2 |                         - 1 2 0 0 1 - a + 1 2 |       a - 9 2 a - 10 0 0 0 a 2 - 6 a + 5 4 |           - a + 1 4 → L 4 a 2 - 6 a + 5 4 → L 4

1 1 1 1 |                       4 0 1 - 3 2 a - 1 2 |                         - 1 2 0 0 1 - a + 1 2 |       a - 9 2 a - 10 0 0 0 1 |           - 1 a - 5 → L 3 + a - 1 2 L 4 → L 3 1 1 1 1 |                       4 0 1 - 3 2 a - 1 2 |                   - 1 2 0 0 1 0 |               - 4 a - 5 0 0 0 1 |               - 1 a - 5 → L 2 - a - 1 2 L 4 → L 2

1 1 1 1 |                       4 0 1 - 3 2 0 |                   2 a - 5 0 0 1 0 |               - 4 a - 5 0 0 0 1 |               - 1 a - 5 → L 1 - L 4 → L 1 1 1 1 0 |       4 a - 19 a - 5 0 1 - 3 2 0 |                   2 a - 5 0 0 1 0 |               - 4 a - 5 0 0 0 1 |               - 1 a - 5 → L 2 + 3 2 L 3 → L 2

1 1 1 0 |       4 a - 19 a - 5 0 1 0 0 |                   - 4 a - 5 0 0 1 0 |               - 4 a - 5 0 0 0 1 |               - 1 a - 5 → L 1 - L 3 → L 1 1 1 0 0 |       4 a - 15 a - 5 0 1 0 0 |                   - 4 a - 5 0 0 1 0 |               - 4 a - 5 0 0 0 1 |               - 1 a - 5 → L 1 - L 2 → L 1

1 0 0 0 |       4 a - 11 a - 5 0 1 0 0 |                   - 4 a - 5 0 0 1 0 |               - 4 a - 5 0 0 0 1 |               - 1 a - 5

Chegamos na matriz escalonada, agora partiu montar o sistema.

x 1 = 4 a - 11 a - 5 x 2 =   - 4 a - 5 x 3 = - 4 a - 5 x 4 = - 1 a - 5

Então, a solução geral do sistema é:

X = x 1 x 2 x 3 x 4 =   4 a - 11 a - 5 - 4 a - 5 - 4 a - 5 - 1 a - 5

2. Se a = 1 , temos:

1 1 1 1 |   4 1 3 - 2 a |   3 2 2 a - 2 - a - 2 3 a - 1 |   1 3 a + 2 - 3 2 a + 1 |   6 → a = 1 1 1 1 1 |   4 1 3 - 2 1 |   3 2 0 - 3 2 |   1 3 3 - 3 3 |   6

Agora, fazemos a redução pelo método Gauss-Jordan nessa matriz.

1 1 1 1 |   4 1 3 - 2 1 |   3 2 0 - 3 2 |   1 3 3 - 3 3 |   6 → L 2 - L 1 → L 2 1 1 1 1 |           4 0 2 - 3 0 | - 1 2 0 - 3 2 |           1 3 3 - 3 3 |           6 → L 3 - 2 L 1 → L 3

1 1 1 1 |           4 0 2 - 3 0 | - 1 0 - 2 - 5 0 | - 7 3 3 - 3 3 |           6 → L 4 - 3 L 1 → L 4 1 1 1 1 |           4 0 2 - 3 0 | - 1 0 - 2 - 5 0 | - 7 0 0 - 6 0 | - 6 → L 2 / 2 → L 2

1 1 1 1 |           4 0 1 - 3 2 0 | - 1 2 0 - 2 - 5 0 | - 7 0 0 - 6 0 | - 6 → L 3 + 2 L 2 → L 3 1 1 1 1 |           4 0 1 - 3 2 0 | - 1 2 0 0 - 8 0 | - 8 0 0 - 6 0 | - 6 → L 3 / ( - 8 ) → L 3

1 1 1 1 |           4 0 1 - 3 2 0 | - 1 2 0 0 1 0 |             1 0 0 - 6 0 | - 6 → L 4 + 6 L 3 → L 4 1 1 1 1 |             4 0 1 - 3 2 0 |   - 1 2 0 0 1 0 |             1 0 0 0 0 |             0 → L 2 + 3 L 3 2 → L 2

1 1 1 1 |     4 0 1 0 0 |     1 0 0 1 0 |     1 0 0 0 0 |     0 → L 1 - L 3 → L 1 1 1 0 1 |     3 0 1 0 0 |     1 0 0 1 0 |     1 0 0 0 0 |     0 → L 1 - L 2 → L 1

1 0 0 1 |     2 0 1 0 0 |     1 0 0 1 0 |     1 0 0 0 0 |     0

Montando o sistema, temos:

x 1 + x 4 = 2 x 2 = 1 x 3 = 1

Pela equação I do sistema: x 1 = 2 - x 4

Considerando x 4 = α , a solução é dada por:

X = x 1 x 2 x 3 x 4 = 2 - α 1 1 α ,   ∀ α   ∈ R .

3. Se a = 5 , temos:

1 1 1 1 |   4 1 3 - 2 a |   3 2 2 a - 2 - a - 2 3 a - 1 |   1 3 a + 2 - 3 2 a + 1 |   6 → a = 1 1 1 1 1 |   4 1 3 - 2 5 |   3 2 8 - 7 14 |   1 3 7 - 3 11 |   6

Fazendo a redução por Gauss-Jordan, chegaremos na matriz seguinte:

1 1 1 1 |             4 0 1 - 3 2 2 |     - 1 2 0 0 0 0 |   - 4 0 4 - 6 8 |   - 6

Diante da linha 3 dessa matriz, podemos concluir que o sistema formado pela matriz não tem solução.

Quanta matriz hein? Mas calma.... finalmente terminamos a questão.

Resposta

Para a ≠ 1 e a ≠ 5 :

X = 4 a - 11 a - 5 - 4 a - 5 - 4 a - 5 - 1 a - 5

Para a = 1 :

2 - α 1 1 α ,   ∀ α   ∈ R .

Para a = 5 : Não tem solução

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