Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 1f
Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que seja diagonal.
f)
Passo 1
Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):
Calculando o determinante da nossa nova matriz:
det = -+6-9x+4
Igualando a zero e resolvendo:
-+6-9x+40
x = 1
x = 4
Passo 2
Substituindo x = 1 na matriz ():
Escalonando:
Resolvendo como um sistema () = 0:
Assim, temos
a(-1, 1, 0) + b(-1, 0, 1)
Substituindo x = 4 na matriz ():
Escalonando:
Resolvendo como um sistema () = 0:
Assim, temos
a(1, 1, 1)
Passo 3
Com base nos vetores encontrados, podemos achar as bases ortonormais:
Assim, a matriz ortogonal é tal que:
, que gera
Resposta
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3. Prove que se A for uma matriz simétrica positiva e u e v vetores em forma de coluna, então u , v = u T A v É um produto interno de R n .
1. Em cada caso, verifique que a matriz é ortogonal e encontre sua inversa.(a) 3 5 - 4 5 4 5 3 5 (b) 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25