Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.Exercícios Suplementares - Ex. 1

1. Em cada caso, verifique que a matriz é ortogonal e encontre sua inversa.

(a) 3 5 - 4 5 4 5 3 5

(b) 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25

Passo 1

Bem... pra matriz ser ortogonal a transposta tem que ser igual à inversa.

Vamos multiplicar a matriz pela transposta. Se der a matriz identidade, então é ortogonal.

(a) Sendo:

A = 3 5 - 4 5 4 5 3 5

A transposta, então:

A T = 3 5 4 5 - 4 5 3 5

Passo 2

Agora multiplicando as duas:

A A T = 3 5 - 4 5 4 5 3 5 3 5 4 5 - 4 5 3 5

A A T = 3 5 3 5 + - 4 5 - 4 5 3 5 4 5 + - 4 5 3 5 4 5 3 5 + 3 5 - 4 5 4 5 4 5 + 3 5 3 5

A A T = 1 0 0 1 = I

Então a matriz é ortogonal e sua inversa:

A - 1 = 3 5 4 5 - 4 5 3 5

Passo 3

(b) Sendo:

A = 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25

A transposta, então:

A T = 4 5 - 9 25 12 25 0 4 5 3 5 - 3 5 - 12 25 16 25

Passo 4

Agora multiplicando as duas:

A A T = 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25 4 5 - 9 25 12 25 0 4 5 3 5 - 3 5 - 12 25 16 25

Pra não ficar um bololo (e também pra caber na página rs) vamos fazer termo a termo:

A A T = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

a 11 = 4 5 4 5 + 0 0 + - 3 5 - 3 5

a 11 = 1

a 12 = 4 5 - 9 5 + 0 4 5 + - 3 5 - 12 25

a 12 = 0

a 13 = 4 5 12 25 + 0 3 5 + - 3 5 16 25

a 13 = 0

a 21 = - 9 5 4 5 + 4 5 0 + - 12 25 - 3 5

a 21 = 0

a 22 = - 9 5 - 9 5 + 4 5 4 5 + - 12 25 - 12 25

a 22 = 1

a 23 = - 9 5 12 25 + 4 5 3 5 + - 12 25 16 25

a 23 = 0

a 31 = 12 25 4 5 + 3 5 0 + 16 25 - 3 5

a 31 = 0

a 32 = 12 25 - 9 5 + 3 5 4 5 + 16 25 - 12 25

a 32 = 0

a 33 = 12 25 12 25 + 3 5 3 5 + 16 25 16 25

a 33 = 1

Então:

A A T = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Então a matriz é ortogonal e sua inversa:

A - 1 = 4 5 - 9 25 12 25 0 4 5 3 5 - 3 5 - 12 25 16 25

Resposta

(a) A - 1 = 3 5 4 5 - 4 5 3 5

(b) A - 1 = 4 5 - 9 25 12 25 0 4 5 3 5 - 3 5 - 12 25 16 25

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

3. Prove que se A for uma matriz simétrica positiva e u e v vetores em forma de coluna, então u , v = u T A v É um produto interno de R n .
4. Encontre o polinômio característico e as dimensões dos autoespaços da matriz simétrica 3 2 2 2 3 2 2 2 3
5. Encontre uma matriz P que diagonalize A = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Ortogonalmente e determine a matriz diagonal D = P T A P .
Mostre que se U for uma matriz unitária n × n e z 1 = z 2 = … = z n = 1 então o produto Também é unitário.