Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 5
Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz que diagonaliza ortogonalmente e determine .
Passo 1
E aí? Bora matar essa questão?
Bom, precisamos encontrar a matriz que diagonaliza e , mas o que é isso?
Então, é uma matriz ortogonal formado pelos autovetores normalizados em coluna.
Relaxa que mais para frente eu conto como determinamos o autovetor normalizado, primeiro vamos ver a matriz :
Agora, o que é , é a multiplicação das matrizes.
Foco no que eu disse ali em cima, sobre ser uma matriz ortogonal, então temos que:
Passo 2
Precisamos dos os autovalores e autovetores:
Passo 3
A primeira coisa que vamos fazer é calcular o autovalor:
E vamos fazer parte, primeiro :
Passo 4
Lembra da equação que escrevemos ali em cima?
Agora vamos substituir os valores nela:
Reescrevendo:
Então:
Passo 5
Bora fazer o determinante da nossa matriz?
Colando em evidência:
Temos que:
Determinando as raízes de:
Passo 6
Lembra quando o pessoal dizia que nunca mais iria usar Bhaskara?
Não podiam estar mais errados.
Onde:
Passo 7
Calculando:
Retornando em:
Passo 8
Agora é a vez dos autovetores:
Onde:
Logo:
Como já temos :
Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar . Molezinha, não!?
Passo 9
Para :
Montando em forma de sistema, temos:
Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a primeira:
O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o :
Primeiro vamos substituir na equação:
Por fim, vamos substituir o valor de , em
Temos:
Escrevendo:
Colocando em evidência, temos:
Temos que o valor de autovetor é:
Passo 10
Para :
Montando em forma de sistema, temos:
Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Eu vou escolher a primeira:
O objetivo é isolar uma das incógnitas, eu vou escolher o :
Vamos simplificar por , para obter a menor fração possível:
Temos que:
Isolando , temos:
Escrevendo:
Colocando em evidência, temos:
Podemos, facilitar nossa vida nos próximos cálculos multiplicando por para eliminar a fração:
Temos que o valor de autovetor é:
Passo 11
Para :
Montando em forma de sistema, temos:
Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Eu vou escolher a primeira:
O objetivo é isolar uma das incógnitas, eu vou escolher o :
Vamos simplificar por , para obter a menor fração possível:
Temos que:
Isolando , temos:
Escrevendo:
Colocando em evidência, temos:
Podemos, facilitar nossa vida nos próximos cálculos multiplicando por para eliminar a fração:
Temos que o valor de autovetor é:
Passo 12
Estamos mandando bem!!! Bora normalizar os autovetores:
Passo 13
Não desiste de mim, que falta pouco!!!
Bora escrever, !?
Para escrever , lembra o que eu disse lá no Passo 1? Que colocamos os autovetores normalizados que diagonaliza ortogonalmente em colunas, então:
Passo 14
Estamos quase no fim, eu juro!!!
Agora vamos determinar , lembra o que eu disse lá no Passo 1?
Relaxa que eu te recordo, é uma matriz ortogonal, então:
Passo 15
Último passo antes da tão sonhada !!!!
Só precisamos fazer substituir:
Passo 16
Bora fazer com a nossa multiplicação!!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)