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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 7

Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P .

A = 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2

Passo 1

E aí? Bora matar essa questão?

Bom, precisamos encontrar a matriz P que diagonaliza A e P - 1 A P , mas o que é isso?

Então, P é uma matriz ortogonal formado pelos autovetores normalizados em coluna.

Relaxa que mais para frente eu conto como determinamos o autovetor normalizado, primeiro vamos ver a matriz P :

Agora, o que é P - 1 A P , é a multiplicação das matrizes.

Foco no que eu disse ali em cima, sobre ser uma matriz ortogonal, então temos que:

P - 1 = P T

Passo 2

Precisamos dos os autovalores e autovetores:

A u t o v a l o r e s   ( λ ) :   A - λ I = 0

A u t o v e t o r e s   ( v ) :   A - λ I v = 0

Passo 3

A primeira coisa que vamos fazer é calcular o autovalor:

  A - λ I = 0

E vamos fazer parte, primeiro λ I :

λ I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Passo 4

Lembra da equação que escrevemos ali em cima?

λ I - A = 0

Agora vamos substituir os valores nela:

λ I - A = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2

Reescrevendo:

λ I - A = λ - 2 1 1 1 λ - 2 1 1 1 λ - 2

Então:

λ - 2 1 1 1 λ - 2 1 1 1 λ - 2 = 0

Passo 5

Bora fazer o determinante da nossa matriz?

λ - 2 1 1 1 λ - 2 1 1 1 λ - 2 λ - 2 1 1 λ - 2 1 1

λ - 2 ∙ λ - 2 ∙ λ - 2 + 1 + 1 - λ - 2 - λ - 2 - λ - 2 = 0

λ - 2 ∙ λ 2 - 4 λ + 4 + 2 - λ + 2 - λ + 2 - λ + 2 = 0

λ 3 - 4 λ 2 + 4 λ - 2 λ 2 + 8 λ - 8 + 2 - λ + 2 - λ + 2 - λ + 2 = 0

Reorganizando:

λ 3 - 4 λ 2 - 2 λ 2 + 4 λ + 8 λ - 3 λ - 6 + 6 = 0

λ 3 - 6 λ 2 + 9 λ = 0

Colando λ em evidência:

λ ∙ ( λ 2 - 6 λ + 9 )   = 0  

Podemos reescrever como:

λ ∙ λ - 3 ∙ λ - 3 = 0

Temos que:

λ 1 = 0

λ 2 = λ 2 = 3

Passo 6

Agora é a vez dos autovetores:

A - λ I v = 0

Onde:

v = x y z

Logo:

A - λ I ∙ x y z = 0

Como já temos A - λ I :

λ - 2 1 1 1 λ - 2 1 1 1 λ - 2 ∙ x y z = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v . Molezinha, não!?

Passo 7

Para λ 1 = 0 :

λ - 2 1 1 1 λ - 2 1 1 1 λ - 2 ∙ x y z = 0

- 2 1 1 1 - 2 1 1 1 - 2 ∙ x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- 2 x + y + z = 0 x - 2 y + z = 0 x + y - 2 z = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a primeira:

- 2 x + y + z = 0

Vamos isolar x :

- 2 x = - y - z

2 x = y + z

x = y + z 2

Primeiro vamos substituir x na equação:

x - 2 y + z = 0

y + z 2 - 2 y + z = 0

Subtraimos z em ambos os lados:

y + z 2 - 2 y + z - z = - z

y + z 2 - 2 y = - z

Multiplicamos ambos os lados por 2 :

y + z 2 ∙ 2 - 2 y ∙ 2 = - z ∙ 2

y + z - 4 y = - 2 z

z - 3 y = - 2 z

Subtraimos z em ambos os lados:

z - 3 y - z = - 2 z - z

- 3 y = - 3 z

3 y = 3 z

Simplificando: y = z

Por fim, vamos expressar x em termos de z :

x = y + z 2  

x = z + z 2

x = 2 z 2

x = z

Escrevendo:

v = x y z

v 1 = z z z

Colocando y em evidência, temos:

v 1 = z ∙ 1 1 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 1 = 1 1 1

Passo 8

Para λ 2 = λ 3 = 3 :

3 - 2 1 1 1 3 - 2 1 1 1 3 - 2 ∙ x y z = 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∙ x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0

Vamos isolar x :

x + y + z = 0

x = - y - z

Quando temos duas incógnitas podemos, atribuir y = 1 e z = 0 , mas como precisamos de dois vetores porque temos dois autovalores iguais a 3 , para o segunto vetor invertemos, fazendo y = 0 e z = 1 .

Então, tendo y = 1 e z = 0 :

x = - y - z

x = - 1 - 0

x = - 1

Logo:

v 2 = x y z

v 2 = - 1 1 0

Então, tendo y = 0 e z = 1 :

x = - y - z

x = - 0 - 1

x = - 1

Logo:

v 3 = x y z

v 3 = - 1 0 1

Passo 9

Estamos mandando bem!!! Bora normalizar os autovetores:

u 1 = v 1 v 1

u 1 = 1 1 2 + 1 2 + 1 2 ∙ 1 1 1

u 1 = 1 1 + 1 + 1 ∙ 1 1 1

u 1 = 1 3 ∙ 1 1 1

u 1 = 1 3 1 3 1 3

Como trabalhamos com valores atribuídos para v 2 e v 3 , eles possivelmente serão linearmente independentes, logo para eles precisaresmos usar Gram-Schmidt. Mas como funciona?

Nosso u 2 será como foi acima, então:

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 - 1 2 + 1 2 + 0 2 ∙ - 1 1 0

u 2 = 1 1 + 1 ∙ - 1 1 0

u 2 = 1 2 ∙ - 1 1 0

u 2 = - 1 2 1 2 0

Mas com o u 3 , usaremos:

w = x 3 - < x 3 , u 1 > < u 1 , u 1 > u 1 - < x 3 , u 2 > < u 1 , u 2 > u 2

Talvez você esteja se sentindo, assim:

Mas não precisa se preocupar, vamos resolver parte a parte, para só depois juntarmos tudo. Ok?

Bora, lá!?

Passo 10

Vamos reescrever a equação para manter ela por perto:

w = x 3 - < x 3 , u 1 > < u 1 , u 1 > u 1 - < x 3 , u 2 > < u 2 , u 2 > u 2

< x 3 , u 1 >   = - 1 0 1 ∙ 1 3 1 3 1 3 = - 1 3 + 0 + 1 3 = 0

< u 1 , u 1 >   = 1 3 1 3 1 3 ∙ 1 3 1 3 1 3 = 1 3 ∙ 1 3 + 1 3 ∙ 1 3 + 1 3 ∙ 1 3 = 1 3 + 1 3 + 1 3 = 3 3 = 1

< x 3 , u 2 >   =   - 1 0 1 ∙ - 1 2 1 2 0 = 1 2

< u 2 , u 2 >   =   - 1 2 1 2 0 ∙ - 1 2 1 2 0 = - 1 2 ∙ - 1 2 + 1 2 ∙ 1 2 = 1 2 + 1 2 = 2 2 = 1

Vamos substituir na equação acima:

w = - 1 0 1 - 0 1 ∙ 1 3 1 3 1 3 - 1 2 1 ∙ - 1 2 1 2 0

w = - 1 0 1 - 0 - 1 2 ∙ - 1 2 1 2 0

w = - 1 0 1 - - 1 2 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 0

w = - 1 0 1 - - 1 2 1 2 0

w = - 1 + 1 2 0 - 1 2 1 - 0

w = - 2 2 + 1 2 - 1 2 1

w = - 1 2 - 1 2 1

Juro que é a última etapa:

u 3 = w w

u 3 = 1 - 1 2 2 + - 1 2 2 + 1 ∙ - 1 2 - 1 2 1

u 3 = 1 1 4 + 1 4 + 1 ∙ - 1 2 - 1 2 1

u 3 = 1 2 4 + 1 ∙ - 1 2 - 1 2 1

u 3 = 1 2 4 + 4 4 ∙ - 1 2 - 1 2 1

u 3 = 1 6 4 ∙ - 1 2 - 1 2 1

Podemos simplificar 6 4 por dois:

u 3 = 1 3 2 ∙ - 1 2 - 1 2 1

Podemos reorganizar 1 3 2 :

u 3 = 2 3 ∙ - 1 2 - 1 2 1

u 3 = - 1 2 ∙ 2 3 - 1 2 ∙ 2 3 1 ∙ 2 3

u 3 = - 2 2 3 - 2 2 3 2 3

Passo 11

Não desiste de mim, que falta pouco!!!

Bora escrever, P !?

Para escrever P , lembra o que eu disse lá no Passo 1? Que colocamos os autovetores normalizados que diagonaliza A ortogonalmente em colunas, então:

P = 1 3 - 1 2 - 2 2 3 1 3 1 2 - 2 2 3 1 3 0 2 3

Passo 12

Estamos quase no fim, eu juro!!!

Agora vamos determinar P - 1 , lembra o que eu disse lá no Passo 1?

Relaxa que eu te recordo,   P é uma matriz ortogonal, então:

P - 1 = P T

P T = 1 3 1 3 1 3 - 1 2 1 2 0 - 2 2 3 - 2 2 3 2 3

Passo 13

Último passo antes da tão sonhada P T A P !!!!

Só precisamos fazer substituir:

P - 1 A P = P T A P

P T A P = 1 3 1 3 1 3 - 1 2 1 2 0 - 2 2 3 - 2 2 3 2 3 ∙ 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2 ∙ 1 3 - 1 2 - 2 2 3 1 3 1 2 - 2 2 3 1 3 0 2 3

Passo 14

Bora fazer com a nossa multiplicação!!!

P T A P = 1 3 1 3 1 3 - 1 2 1 2 0 - 2 2 3 - 2 2 3 2 3 ∙ 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2 ∙ 1 3 - 1 2 - 2 2 3 1 3 1 2 - 2 2 3 1 3 0 2 3

2 3 - 1 3 - 1 3 - 1 3 + 2 3 - 1 3 - 1 3 - 1 3 + 2 3 - 2 2 - 1 2 1 2 + 2 2 1 2 - 1 2 - 2 2 2 3 + 2 2 3 - 2 3 2 2 3 - 2 2 2 3 - 2 3 2 2 3 + 2 2 3 + 2 2 3 ∙ 1 3 - 1 2 - 2 2 3 1 3 1 2 - 2 2 3 1 3 0 2 3

P T A P = 0 0 0 - 3 2 3 2 0 - 3 2 2 3 - 3 2 2 3 3 2 3 ∙ 1 3 - 1 2 - 2 2 3 1 3 1 2 - 2 2 3 1 3 0 2 3

= 0 0 0 - 3 6 + 3 6 3 2 + 3 2 3 2 2 6 - 3 2 2 6 - 3 2 6 - 3 2 6 + 3 2 3 3 2 2 6 - 3 2 2 6 6 6 + 6 6 + 6 6

= 0 0 0 0 6 2 0 - 6 2 6 + 3 2 3 0 18 6

= 0 0 0 0 3 0 0 0 3

Mandamos bem!!! Partiu, outra questão?

Resposta

P = 1 3 - 1 2 - 2 2 3 1 3 1 2 - 2 2 3 1 3 0 2 3

P T A P = 0 0 0 0 3 0 0 0 3

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